Euler's Eyes
2026-10-15
ニールス・ヘンリック・アーベルの遺産
アーベルは数学者たちに、百五十年分の仕事を残していった。
— シャルル・エルミートの言葉とされるもの
アーベルが数学者として仕事をしたのは八年足らずでした。その間に、彼は代数学で最も古い問いに決着をつけ、級数に厳密さをもたらし、楕円関数を生み出し、死後何十年もたってようやく完全に理解された論文を書きました。今日、彼の名前は数学のほかのだれよりも多くの場所に見られます。アーベル群、アーベル積分、アーベル関数、アーベル多様体、アーベルの定理、アーベル総和法、アーベルの判定法。
パリの論文
アーベルが 1826 年にパリ科学アカデミーに提出し、コーシーがなくした著作には、巨大な結果がふくまれていました。どんな代数曲線についても、曲線に沿ったある種の積分の和は、曲線だけで決まる一定の個数の積分に帰着できる、というのです。その個数は、三十年後にリーマンが曲線の種数、つまり対応する曲面の「穴」の数と呼ぶことになるものです。今日この結果はアーベルの定理と呼ばれ、代数幾何学とリーマン面の理論はそこから育ちました。ルジャンドルはこの定理を知って、ラテンの詩人ホラティウスの言葉を借り、monumentum aere perennius、「青銅よりも長く残る記念碑」と呼んだと伝えられています。
原稿の物語はほとんど小説のようです。アーベルの死後、パリ駐在のノルウェー領事がアカデミーに原稿を探すよう頼みました。コーシーがそれを見つけ、1841 年に出版されましたが、誤りがありました。印刷のあいだに原本はまた消えてしまいました。それが見つかったのはようやく 1952 年、ノルウェーの数学者ヴィゴ・ブルンによって、フィレンツェの図書館で、あるイタリア人収集家の書類の中からでした。
記念碑と賞
19 世紀の終わり、ノーベル賞に数学部門がないと知ったノルウェーのソフス・リーは、アーベルの名を冠した賞をつくることを提案しました。この案は、1899 年のリーの死と、1905 年のノルウェーとスウェーデンの分離によって勢いを失いました。それが再び取り上げられたのは、アーベル生誕二百年の 2002 年です。ノルウェー政府はアーベル賞を創設し、2003 年にフランスのジャン＝ピエール・セールに初めて授与しました。今日、それは数学のノーベル賞にあたるものとみなされています。2015 年にはジョン・ナッシュとルイス・ニーレンバーグに贈られました。
残ったもの
- 代数学。 5 次の一般の公式の不可能性、アーベル方程式、可換な群。
- 解析学。 級数の厳密さ、任意の指数に対する二項級数、べき級数についてのアーベルの定理。
- 楕円関数。 積分の逆転、二重周期性、加法公式。ヤコビとともに。
- 代数幾何学。 代数関数の積分についてのアーベルの定理。リーマンの理論の根。
- 古典幾何学。 定規とコンパスによるレムニスケートの分割。円と同じ数について。
覚えておきたいこと
- ニールス・ヘンリック・アーベルは 1802 年から 1829 年まで生きた。仕事はすべて 19 歳から 26 歳の間に行った。
- 5 次以上の一般の方程式には、累乗根による公式は存在しない。これがアーベル＝ルフィニの定理である。
- 二項級数 $(1+x)^m=1+mx+\cdots$ は $|x|<1$ で収束する。任意の $m$ についてこれを初めて証明したのはアーベルである。
- 積分 $\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$ を逆にするとレムニスケート正弦が得られる。実と虚の二つの周期をもつ関数である。
- レムニスケートの四分の一をそれぞれ二等分する点は、中心から $\sqrt{\sqrt2-1}$ の距離にある。作図可能な数である。
- 操作の順序が問題にならないとき、群はアーベル群である。群がアーベル群である方程式は累乗根で解ける。
出典： Arild Stubhaug、Niels Henrik Abel and his Times（Springer、2000）· アーベル賞、ノルウェー科学文学アカデミー · アーベルの伝記、MacTutor。