Euler's Eyes
2024-07-11
ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理は数学で最もよく知られている基本的な命題の 1 つであり、直角三角形の辺間にエレガントな関係を確立します。この定理の歴史は、その数学的応用と同じくらい興味深いものであり、文化や時代を超え、数学的知識がどのように蓄積され、世代を超えて共有されてきたかを明らかにしています。
伝統的に紀元前 570 年から紀元前 495 年の間に生きたギリシャの哲学者で数学者のピタゴラスによるものとされているこの定理は、直角三角形では、斜辺 (直角の反対側の辺) の 2 乗が脚として知られる他の 2 つの辺の 2 乗の合計に等しいと述べています。
ただし、ピタゴラスの定理の歴史は複雑で微妙です。この定理はピタゴラスの数千年前にバビロン、インド、エジプトの数学者によってすでに知られ、使用されていたという証拠があります。これらの古代文明は、定理が古代ギリシャで正式に確立されるずっと前から、測量や建築などの実用的な目的にこの定理を適用していました。
次に、ピタゴラスは、彼の名前を冠した定理の最初の正式な実証を行ったとされることが多いですが、彼の証明を直接文書で記録したものはありません。彼によって設立されたピタゴラス学派は、一連の数学的および哲学的発見に貢献しており、定理の証明はこの思想家コミュニティによる共同の努力であった可能性があります。
アレクサンドリアのユークリッドにちなんで名付けられたユークリッド幾何学は、私たちにとって直感的に馴染みのある幾何学空間の探求です。線や平面など、あらゆる方向に無限に広がる次元体系で研究される平坦な立体図形を扱います。このシステム内で、ピタゴラスの定理は、問題を解決し、距離と面積に関連する概念を証明するための重要なツールとして機能します。
ピタゴラスの定理の応用は純粋数学の限界を超えています。物理学、工学、建築、さらには芸術など、さまざまな分野で使用されています。たとえば、ナビゲーションでは、2 点間の最短ルートを計算するのに役立ちます。一方、建設では、作業員が角が直角であることを確認して構造の精度を確保することができます。
ピタゴラスの定理の証明は数多くありますが、その中には純粋に視覚的な証明もあれば、代数的手法を使用する証明もあります。最もよく知られている実証の 1 つは、正方形内に 4 つの同一の三角形を配置し、小さい方の正方形 (脚) の面積の合計が大きい方の正方形 (斜辺) の面積に等しいことを明らかにするものです。
ユークリッド距離はピタゴラスの定理から派生した概念であり、任意の次元の空間内の 2 点間の最短距離を計算するために使用されます。この原則は、測定精度が重要なデータ分析やコンピューター グラフィックスにおいて基本です。
ピタゴラスの定理
この本の序文では、正方形の辺の概念から始めました。私たちのradix quadratum。
この図から、正方形の面積があることがわかります。これは、現在の数学では $\times$ 辺に相当します。
例 1:
$$\text{Area 1} = 3\times 3 = 9$$$$\text{Area 2} = 4\times 4 = 16$$
$$\text{Area 3} = 5\times 5 = 25$$
$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$
例 2:
$$\text{Area 1} = 6\times 6 = 36$$$$\text{Area 2} = 8\times 8 = 64$$
$$\text{Area 3} = 10\times 10 = 100$$
$$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$
これを一般化すると三平方の定理があります。
正方形 (四角形) 横 (緯度) a プラス (et) 正方形 (四角形) 横 (緯度) b
辺（緯度）cの正方形（四角形）に等しい（均等）。
正三角形
正三角形 は、equi (iguais) laratero (lados) という単語から導き出され、直角三角形から求めることができます。直角三角形は 正三角形 の半分 (½) です。
直角三角形から、次の例の斜辺には距離があることがわかります。 の、片方の脚に距離があります h そしてもう一人の男 a/2。次の図に示すように:
直角三角形を展開すると、次の正三角形(3の等しい辺)が得られます。
例 1:
これにより、次が得られます。
$$h= \frac{a}{2}~.~\text{radix}~ 3$$または
$$h= \frac{a}{2}~.~\sqrt{3}$$正方形の対角線
辺の正方形が $a$ である場合、対角線 $d$ を推定してみましょう。
$ABCD$ を辺 $a$ の 2 乗とします。
三角形 $ABC$ のピタゴラスの定理から、次のようになります。
$$d^2 = a^2 + a^2$$$$d^2 = 2a^2 $$
$$d = a\sqrt{2} $$
直角三角形のサイン、コサイン、タンジェントの前駆体
三角法の歴史は古代エジプトとバビロンにまで遡りますが、今日私たちが知っているような形になり始めたのは古代ギリシャでした。ヒッパルコスやプトレマイオスなどのギリシャの数学者は、天体の動きやナビゲーションを理解するために使用される三角関数表を作成し始めました。
サイン、コサイン、タンジェントは直角三角形で定義されており、そのルーツはインドの数学者の研究にあります。数学者のアリヤバータは 5 世紀にサイン関数を開発したとよく信じられていますが、コサインとタンジェントはその後正式に確立されました。これらの関数はもともと天文学の問題を解決するために設計され、後に数学に適応されました。
直角三角形では、角度の正弦は、その角度の反対側の辺の長さと斜辺の長さの比として定義されます。コサインは隣接する辺と斜辺との比であり、タンジェントは反対側と隣接する辺との比です。これらの定義は三角法の基礎であり、現在でもさまざまな実践的および理論的問題を解決するために使用されています。
何世紀にもわたって、三角法は進化し、拡張され、新しい関数や定理が組み込まれました。ただし、サイン、コサイン、タンジェントは依然として基本的で最もよく使用される関数であり、工学、物理学、建築などの分野の学生や専門家にとって不可欠なものです。
直角三角形の三角法は、分度器を使わずに、アクセスできない距離を計算したり、角度を測定したりできる強力なツールです。たとえば、接線を使用して建物の高さや川の幅を決定し、三角比を実際の状況に適用することができます。
「サイン」の名前の由来
数学の魅力的な分野である三角法には、名前の裏に興味深い物語を持つ用語がたくさんあります。「サイン」もその 1 つです。 「サイン」という言葉には興味深い起源があり、その起源はさまざまな言語や文化間の翻訳にまで遡ります。
この用語の歴史は、ヒンズー教の数学者が円の弦の半分を「ジーヴァ」と呼んだことに始まります。この用語は後に「jya」と短縮されました。アラビア語では子音だけが書かれ、母音は読者が推測できるようにすることが多いため、アラブ人がヒンドゥー教の数学作品に触れたとき、「jya」を「jb」と音訳しました。
この用語の旅の次のステップは、アラビア語のテキストがラテン語に翻訳されたときに起こりました。 12世紀の翻訳者ロバート・オブ・チェスターは、「jb」をアラビア語で「湾」または「入り江」を意味する「jaib」と解釈しました。ラテン語に翻訳する際、彼は「jaib」と同様の意味を持つ「sinus」という単語を使用しました。したがって、「サイン」という用語はヨーロッパの数学辞典に入り、最終的には今日私たちが知っているポルトガル語の「サイン」に進化しました。
注目すべき角度のサイン、コサイン、タンジェント
$\alpha$ を直角三角形の鋭角の 1 つの寸法とします。
角度の正弦 $\alpha$:
$$\sin \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{a}$$
角度の余弦 $\alpha$:
$$\cos \alpha = \frac{\text{cateto adjascente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{c}{a}$$
角度 $\alpha$ の正接:
$$\tan \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjascente}} = \frac{b}{c}$$
注目のアングルへの応用
| 角度 | 正弦 | 余弦 | 正接 | 幾何学模様 |
|---|---|---|---|---|
| $45^\circ$ | $$\sin 45^\circ= \frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2 }\quad$$ | $$\cos 45^\circ= \frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad$$ | $$\tan 45^\circ = \frac{a}{a} = 1\quad$$ |
|
| $60^\circ$ | $$\sin 60^\circ= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2 }\quad$$ | $$\cos 60^\circ= \frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}\quad$$ | $$\tan 60^\circ = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3}\quad$$ |
|
| $30^\circ$ | $$\sin 30^\circ= \frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}\quad$$ | $$\cos 30^\circ= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad$$ | $$\tan 30^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\quad$$ |
|
考慮事項
つまり、ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の宝石であり、幅広い科学分野および実践分野でその価値と多用途性を証明し続けるツールです。これは、私たちの周りの世界をシンプルかつ正確に記述する数学の力の証です。
この魅力的なトピックについてさらに詳しく知りたい方のために、定理とその応用についてのより深い洞察を提供する豊富なリソースが用意されています。ここではピタゴラスの定理に少し貢献しました。次の投稿をお待ちください。