Euler's Eyes
2026-10-11
11 の章の演習 — 円上の角度
演習と解決策
以下の場合の角度$x$の値を求めます。
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a) $35^{\circ}$ ・ b) $100^{\circ}$ ・ c) $60^{\circ}$ ・ d) $25^{\circ}$ ・ e) $50^{\circ}$ ・ f) $20^{\circ}$
次の場合の円弧の値 $x$ を決定します。
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a) $80^{\circ}$ b) $30^{\circ}$ c) $60^{\circ}$
図中、$x$の値を計算します。
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a) $35^{\circ}$ b) $10^{\circ}$
図中、$\alpha$の値を計算します。
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a) $65^{\circ}$ b) $50^{\circ}$
図において、円弧の値$\overset{\frown}{ABC}$を計算します。
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a) $130^{\circ}$ b) $245^{\circ}$
図中、$x$を計算します。
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a) $70^{\circ}$ b) $98^{\circ}$ c) $150^{\circ}$
図では$\overset{\frown}{ABC} = 260^{\circ}$として$\alpha$の値を計算します。
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$\alpha = 80^{\circ}$
$x$の値を計算します。
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a) $65^{\circ}$ b) $112^{\circ}$
図の円弧$\overset{\frown}{CD}$は$105^{\circ}$を測定します。 $x$の値を計算します。
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$x = 110^{\circ}$
円周上では、円弧 $\overset{\frown}{CFD}$ が円弧 $\overset{\frown}{AEB}$ を $50^{\circ}$ 超えています。角度 $\alpha$ が $70^{\circ}$ であることを知って、その寸法を決定します。
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$\overset{\frown}{AEB} = 45^{\circ}$ および $\overset{\frown}{CFD} = 95^{\circ}$
図では、角度$A\hat{C}D$は$70^{\circ}$に等しく、角度$A\hat{P}D$は$110^{\circ}$に等しい。角度の測定値を決定します $B\hat{A}C$。
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$B\hat{A}C = 40^{\circ}$
図の$x$を計算します。
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a) $50^{\circ}$ b) $20^{\circ}$
図の$x$を計算します。
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a) $50^{\circ}$ b) $10^{\circ}$
$y = 75^{\circ}$と$\overset{\frown}{AB} = 100^{\circ}$の場合は$x$を計算します。
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$x = 55^{\circ}$
図の$\alpha$の値は何でしょうか？
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$\alpha = 40^{\circ}$
図では、円弧 $\overset{\frown}{CMD}$ は $100^{\circ}$ に等しく、円弧 $\overset{\frown}{ANB}$ の寸法は $30^{\circ}$ です。 $x$の値を計算します。
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$x = 35^{\circ}$
図では $CD = R$ であることがわかり、角度 $\alpha$ の寸法を決定します。
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$\alpha = 60^{\circ}$
図の$x$を計算します。
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a) $80^{\circ}$ b) $90^{\circ}$ c) $52^{\circ}$
図の $x$ を計算します (b では、$ABCDE$ は正五角形です)。
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a) $75^{\circ}$ b) $72^{\circ}$
図では、円弧 $\overset{\frown}{BEC}$ は $60^{\circ}$ を測定し、$\overline{OB}$ は $\overline{AC}$ に垂直です。円弧の測定値 $\overset{\frown}{AFB}$ と角度の測定値 $A\hat{D}C$ を決定します。
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$\overset{\frown}{AFB} = 60^{\circ}$ および $A\hat{D}C = 60^{\circ}$
三角形 $ABC$ の辺に内接する円の接点によって得られる三角形の角度の測定値を求めます。$\hat{A} = 60^{\circ}$、$\hat{B} = 40^{\circ}$、および $\hat{C} = 80^{\circ}$ です。
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$70^{\circ}$、$60^{\circ}$、$50^{\circ}$
直線 $r$ が点 $A$ で円に接し、円弧 $\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AC}$ が数値 2、9、7 に比例することを知って、図の角度 $\alpha$ と $\beta$ の比率を求めます。
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$\dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{2}{7}$
図では、円弧 $\overset{\frown}{AB}$ の寸法が $100^{\circ}$ であり、弦 $\overline{CD}$ の寸法が $R$ であることがわかり、角度 $\alpha$ の寸法を決定します。$R$ は円の半径です。
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$\alpha = 80^{\circ}$
外側の点 $P$ によって導かれる円の 2 つの直線の割線によって形成される最小の角度を決定します。これらの割線によって円上の 2 つの円弧が決定され、その尺度は $30^{\circ}$ および $90^{\circ}$ になります。
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$30^{\circ}$
図中、$\overline{AB}$と$\overline{AC}$は中心円$O$の接線、$Q$は短円弧$\overset{\frown}{BC}$上の点です。 $\overline{PQR}$ は円の接線、$\hat{A} = 28^{\circ}$ です。 $P\hat{O}R$を見つけます。
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$P\hat{O}R = 76^{\circ}$
図では、 $\overline{AB}$ は直径、文字列です $\overline{AM}$ は内接正三角形の辺であり、 $\overline{BN}$、内接正方形の辺。角度を計算する $\alpha$、接線によって形成されます $\overline{PM}$ そして $\overline{PN}$.
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$\alpha = 30^{\circ}$
測定値$x$と$y$を決定します。
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$x = 105^{\circ}$ および $y = 55^{\circ}$
円に内接する正三角形$ABC$を考えてみましょう。点$A$と$B$におけるこの円の接線がなす最小角度を求めます。
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$60^{\circ}$
以下の場合の$x$の値を求めます。
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a) $160^{\circ}$ b) $80^{\circ}$
$\overset{\frown}{AB}$ と $\overset{\frown}{CD}$ が円上の等しい長さの弧である場合、弦 $\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ は合同であることを示します。
この本の解像度を参照してください
$O$ を中心として、三角形 $AOB$ と $COD$: $OA = OB = OC = OD$ (半径) と $A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$ ($\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$ のため) を考えます。 LAL の場合、それらは合同であるため、$\overline{AB} \equiv \overline{CD}$。逆数も成立します。
円に割った別個の平行線が、円上で平行線の間の同じサイズの円弧を決定することを証明してください。
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反対側の点 (各平行から 1 つずつ) を結合し、内接角を使用します。交互の角度は合同であるため、そこに表示される円弧も合同です。
円に内接する台形が二等辺であることを証明してください。
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練習問題 407 および 406 を使用します。平行な基部はそれらの間の等しい円弧を決定し、等しい円弧は等しい弦 (非平行な側面) を持ちます。
$a$と$b$の足の直角三角形に内接する円と外接する円の半径を$r$と$R$とする。 $a + b = 2(R + r)$ を証明してください。
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斜辺は、外接円 ($c = 2R$) および $r = \dfrac{a + b - c}{2}$ の直径です。ロゴ$a + b = 2r + c = 2(R + r)$。
直角三角形の内接円と外接円の直径の合計が、その三角形の脚の合計に等しいことを証明してください。
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演習 409: $2r + 2R = a + b$ を参照してください。
三角形の辺$\overline{AB}$と$\overline{AC}$が2つの円の直径である場合、その円に共通するもう1つの点は$\overline{BC}$にあることを証明してください。
この本の解像度を参照してください
$P$ をもう一方の交点とします。三角形$APB$と$APC$は半円に内接しているので長方形、$A\hat{P}B$と$A\hat{P}C$は直線です。したがって、$\overrightarrow{PB}$ と $\overrightarrow{PC}$ は反対の光線です。つまり、$P$ は $\overline{BC}$ の中にあります。
$ABC$ を鋭角三角形、$H_1$、$H_2$、$H_3$ を高さの足とします。三角形$ABC$の垂心$H$が三角形$H_1H_2H_3$の内心であることを証明してください。
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$A\hat{B}H_2 \equiv A\hat{C}H_3$ (それぞれ垂直な辺); $A\hat{B}H_2 \equiv A\hat{H_1}H_2$ (直径円 $\overline{AB}$ 内の円弧 $AH_2$ を考慮) および $A\hat{C}H_3 \equiv A\hat{H_1}H_3$ (直径円 $\overline{AC}$ 内の円弧 $AH_3$)。したがって、$\overline{H_1A}$ は $H_2\hat{H_1}H_3$ の 角の二等分線 です。他の頂点についても同様です。