ユークリッドは、紀元前 300 年頃に、素数が無限に存在することをすでに証明していました。 1737 オイラーで 素数を微積分に結び付ける、まったく異なる証明を発見した。

各素数 $p$ について、等比数列の和は次のようになります。

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$

これらの式を $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ に乗算すると、各項の積は次の形式になります。 $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$。つまりすべての自然数は積として単一の方法で記述されます。 素数の場合、各分数 $\frac{1}{n}$ は 1 回だけ出現します。

$$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$

しかし、右側の合計は、 高調波系列、無制限に成長します: の条件 $\frac{1}{3}$ の $\frac{1}{4}$ 合計すると以上になります $\frac{1}{2}$、のそれら $\frac{1}{5}$ の $\frac{1}{8}$ また、それらの $\frac{1}{9}$ の $\frac{1}{16}$ また、など。有限の量があったとしたら、 素数の場合、左側は有限数の積、つまり有限数になります。矛盾： 無限の素数がある.

用語を 1、2、4、8 のブロックにグループ化すると、各ブロックは 1/2 になります。無限のブロックを追加すると、合計は増加し続けます。

オイラーはさらに進んで、合計が $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots$ であることを示しました。 素数の逆数は無制限に増加します。この素数と分析の間の架け橋が理論を生み出しました。 数値分析です。

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