Euler's Eyes
2026-09-26
FUVEST 2024 – 第 2 フェーズ: 数学の解決
ここではM01 ～ M06 までの決議を、各項目の理由と結果の検証とともに示します。 公式ノートブック 2 日目 を使用して、明細書や図面を参照してください。以下では、計算に必要なデータのみを返します。
解説には著作権があります。解答の確認には、コレクション 2024 にある公式 FUVEST ガイド、ページ 40 ～ 48 を使用します。 M02 は注意が必要です。印刷データに一貫性がなく、ガイドでは異なるアプローチが採用されています。
テンプレート
| 質問 | テーマ | 答え |
|---|---|---|
| M01 | モバイルとシステム | a) トップ 64;空の円: 4、11、8、8、16、左から右へ。 b) 27; c) $5/4$、$35/12$、$7/4$、$7/6$ |
| M02 | 条件付き確率 | 互換性のないデータ: 設定の合計は 110% になります。明示的な仮説に基づいた議論と計算を参照してください。 |
| M03 | 直線と放物線 | a) $(-1,1)$ e $(3,9)$; b) $(28/25,21/25)$; c) $B=(5/2,25/4)$, $C=(3/2,9/4)$ |
| M04 | 指数関数 | a) $2$ m; b) $9\sqrt2/4$ m; c) $2\log_2(2+\sqrt3)$ m |
| M05 | 革命の固体 | a) $16$ エリア単位。 b) $128\pi/3$ 体積単位。 c) $32\sqrt2\pi/3$ ボリューム単位 |
| M06 | 床関数 | a) $10/3$; b) $[5/2,3)$; c) $[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})$ |
M01: 数学モバイルの読み方
テストPDF のページ3 にある3 つの図をご覧ください。ルールは $ac=bd$ と $x=ac+bd$ です。番号のない分岐には係数1が付きます。計算では、部分構造の値には、部分構造がサポートする円が含まれます。
a) モバイルI
左下の端から始めます。白丸は4円とバランスがとれているので4も有効です。円 3 の下にぶら下がっているセットは $4+4=8$ の価値があります。 3 自体を含めると、このブランチは $3+8=11$ の価値があります。したがって、その右側の円は11を受け取ります。
さあ、レベルを上げてください。円 10 の下の構造は $11+11=22$ の価値があります。メインサポート合計の左側
$$10+22=32.$$右側も32の値でなければなりません。最初の分割には、値 16 を持つ 2 つの等しい分岐があります。右側の円は 16 を受け取り、左側のペアは 16 を追加します。このペアの各サークルは 8 を受け取ります。
したがって、上部の三角形は $32+32=\boxed{64}$ を受け取ります。直接会議は、すべてのサークルを合計することで構成されます。
$$10+3+4+4+11+8+8+16=64.$$注意: 円 3 だけがブランチ全体を表すわけではありません。まだ2つの円がぶら下がっています。
b) モバイルⅡ
各フォークは値を 2 つの等しい部分に分割します。 912から始まり、連続する分岐の値は
$$912\longrightarrow456\longrightarrow228\longrightarrow114\longrightarrow57.$$サークル $2n+3$ 最後のレベルにあります。したがって、
$$2n+3=57\quad\Rightarrow\quad n=\boxed{27}.$$置換: $2\cdot27+3=57$、4 つの重複により 912 が回復します。
c) モバイルⅢ
4 つの円に左から右に $x,y,z,w$ という名前を付けます。平衡条件は、
$$7x=3y,\qquad2z=3w.$$$L=7x+3y$と$R=2z+3w$で下位セットの値を設定します。上部のサポートには、
$$2L=5R,\qquad2L+5R=70.$$分割払いは等しいため、それぞれの価値は 35 です。次に$L=35/2$と$R=7$。再度各セットを 2 つの等しい寄与に分割します。
$$7x=3y=\frac{35}{4},\qquad2z=3w=\frac72.$$このような、
$$\boxed{x=\frac54,\quad y=\frac{35}{12},\quad z=\frac74,\quad w=\frac76}.$$係数はモバイル ルールの一部です。4 つの円だけを追加しても 70 は生成されません。
M02: {#questao-m02} を計算する前にデータを確認する
キット A、B、および C は、40%、30%、40% の優先度を示しています。選択したキットに応じて、サービスの可能性は 80%、90%、および 70% になります。
発言の矛盾
各顧客は 1 つの好みを示します。したがって、A、B、または C を優先するイベントは相互に排他的であり、すべての顧客をカバーします。確率は合計すると 1 になるはずですが、
$$0{,}4+0{,}3+0{,}4=1{,}1.$$これらのデータを同時に満たす確率分布は存在しません。 この正当化は、この質問に対する公式ガイドで受け入れられている回答の 1 つです。
項目 a については、問題を 2 つの方法で見ることができます。欠席拠出金の直接合計は、
$$0{,}4\cdot0{,}2+0{,}3\cdot0{,}1+0{,}4\cdot0{,}3=0{,}23.$$サービス貢献度の合計は $0{,}87$ となり、その補数は $0{,}13$ になります。この不一致は補数ルールから生じるものではありません。それは、合計が 1,1 になる重みを確率であるかのように使用することから生じます。
3 つの項目を研究するための一貫したモデル
練習として、$40:30:40$ を比率として扱い、正規化するという追加の仮説を採用することができます。これにより印刷モデルが変更され、1 回限りの正式な修正にはなりません。この仮説では、
$$P(A)=\frac4{11},\qquad P(B)=\frac3{11},\qquad P(C)=\frac4{11}.$$$T$ を好みが満たされたイベントとする。
a) サービスなし。 顧客を 3 つのグループに分け、各グループの割合にそのグループ内での失敗の可能性を掛けます。
$$P(T^c)=\frac4{11}\cdot\frac2{10}+\frac3{11}\cdot\frac1{10}+\frac4{11}\cdot\frac3{10}=\boxed{\frac{23}{110}}.$$サービスのチャンスは $87/110$ です。 2 つの確率を合計すると、正確に 1 になります。
b) 異なる好みを持つ 2 人の友人。 好みに応じて独立した選択と独立した支援を想定します。友達の順序を知る前に、ペア AB、AC、BC の重みは次のように比例します。
$$4\cdot3:4\cdot4:3\cdot4=12:16:12.$$さまざまな設定を条件にすると、これらの重みは $3/10$、$4/10$、および $3/10$ になります。両方が出会う確率は
$$\frac3{10}(0{,}8\cdot0{,}9)+\frac4{10}(0{,}8\cdot0{,}7)+\frac3{10}(0{,}9\cdot0{,}7)=\boxed{0{,}629}.$$3 つの製品の単純な平均は間違っています。このモデルでは AC ペアがより頻繁に使用されます。
c) サービスを受ける人の中で B を優先します。 B を選択してサービスを受ける同時確率は $(3/11)(9/10)=27/110$ です。それをサービスの確率で割ります。
$$P(B\mid T)=\frac{27/110}{87/110}=\boxed{\frac9{29}}\approx31{,}03\%.$$これら 3 つの結果は正規化された仮説に属します。印刷されたテストでは、基本的な結論はデータの非互換性です。公式ガイドには、他のアプローチの受け入れ基準が詳しく記載されています。
M03: 直線と放物線
$P:y=x^2$、$r:ax+by+c=0$、および $O=(0,0)$ を使用します。
a) $(a,b,c)=(2,-1,3)$ の交差点
直線上は$y=2x+3$。共通点は、$y$ の両方の式を満たさなければなりません。
$$x^2=2x+3\quad\Rightarrow\quad(x-3)(x+1)=0.$$$x=-1$ の場合は $y=1$ になります。 $x=3$ には $y=9$ があります。
応答: $\boxed{(-1,1)\text{ e }(3,9)}$。
b) 原点に最も近い$4x+3y=7$の点
点から直線までの最短距離は、垂直線分によって測定されます。指定された直線の角度係数は $-4/3$ です。 $O$ を通る垂線は方程式 $y=3x/4$ になります。
置き換えると、
$$4x+3\cdot\frac{3x}{4}=7\quad\Rightarrow\quad25x=28.$$それから、
$$\boxed{\left(\frac{28}{25},\frac{21}{25}\right)}.$$会議: $4(28/25)+3(21/25)=7$。この点までのベクトルは $(4,3)$ に比例し、直線に垂直であり、垂直であることが確認されます。
c) $A=(-1,1)$との平行度と距離$BC=\sqrt{17}$
$B=(u,u^2)$と$C=(v,v^2)$を書き込みます。 B は第 1 象限にあるため、$u>0$。 OC セグメントは非縮退である必要があるため、$v\ne0$。
AB と OC の傾きは次のとおりです。
$$\frac{u^2-1}{u+1}=u-1,\qquad\frac{v^2}{v}=v.$$平行度は$v=u-1$となります。距離の二乗を使用すると、
$$17=(u-v)^2+(u^2-v^2)^2=1+(u+v)^2.$$したがって、$u+v=\pm4$。 $u-v=1$と組み合わせると$u=5/2$または$u=-3/2$となります。第 1 象限条件では、以下を選択します。
$$\boxed{B=\left(\frac52,\frac{25}{4}\right),\qquad C=\left(\frac32,\frac94\right)}.$$座標の差は1と4なので$BC=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$となります。
M04: 文字列の高さ
ロープのモデルは $f(x)=2^x+2^{-x}$ で、単位はメートルです。
a) 最小高さ
$t=2^x>0$を実行します。 $(t-1)^2\ge0$ を $t$ で割ると、次のようになります。
$$t+\frac1t\ge2.$$等しいには $t=1$、つまり $x=0$ が必要です。したがって、最小の高さは$\boxed{2\text{ m}}$となります。この不等式は、グラフの外観だけに依存することなく、それが全体的な最小値であることを証明します。
b) 3 m 離れたロッド
関数は偶数です: $f(-x)=f(x)$。 $x\ge0$ については厳密に増加しています。$1\le s
ステムは $x=-3/2$ と $x=3/2$ にあります。高さは
$$f\left(\frac32\right)=2\sqrt2+\frac1{2\sqrt2}=2\sqrt2+\frac{\sqrt2}{4}=\boxed{\frac{9\sqrt2}{4}\text{ m}}.$$c) 高さの点間の距離4 m
$t+1/t=4$ を解くことは、次を解くことと同じです。
$$t^2-4t+1=0\quad\Rightarrow\quad t=2\pm\sqrt3.$$値は$(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1$のように正の逆数になります。したがって、横軸は次のように逆になります。
$$x=\pm\log_2(2+\sqrt3).$$点の縦座標は同じです。それらの距離は横座標の差であり、文字列の弧の長さではありません。
$$\boxed{d=2\log_2(2+\sqrt3)\text{ m}}.$$M05: 1 つの三角形、3 つの回転軸
領域は、頂点 $O=(0,0)$、$A=(4,0)$、$B=(0,4)$ からなる三角形であり、$x+y=4$ と座標軸によって境界が定められています。
a) Oy 周りの回転: 断面積
回転すると、半径 4 と高さ 4 の円錐が作成されます。 Oxy 平面の断面はその軸と交差し、元の三角形と Oy の左側のその反射の両方が含まれます。これは底辺が 8 で高さが 4 の三角形です。
$$\boxed{A=\frac{8\cdot4}{2}=16}.$$求められる内容に注意してください。円錐の側面積ではなく、固体の平らな部分の面積です。
b) $x=4$ を中心とした回転: ボリューム
高さ $y\in[0,4]$ では、三角形は $0\le x\le4-y$ を占めます。これらの端から$x=4$軸までの距離は4と$y$です。回転すると、バンドは外半径 4 と内半径 $y$ の円形のクラウンを生成します。
これにより、固体は、同じ寸法の円錐形の空洞を持つ、半径 4 と高さ 4 の円柱として識別されます。したがって、
$$V=\pi\cdot4^2\cdot4-\frac13\pi\cdot4^2\cdot4=\boxed{\frac{128\pi}{3}}.$$c) $x+y=4$ を中心とした回転: ボリューム
軸は斜辺ABです。 OからABへの垂線の足は$H=(2,2)$です。関連する距離は次のとおりです。
$$OH=AH=BH=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.$$三角形をセグメント OH で分割します。 OAH と OBH を回転させると、円形の底面を共有し、その反対側に位置する 2 つの円錐が生成されます。各円錐の半径は $OH$、高さは $AH$ または $BH$ です。
$$V=2\cdot\frac13\pi(2\sqrt2)^2(2\sqrt2)=\boxed{\frac{32\sqrt2\pi}{3}}.$$各円錐の高さは元の斜辺の半分です。高さとして 4 を使用すると、側面と回転軸が混同されます。
M06: フロア関数を使用した方程式
私たちが使用する定義は次のとおりです
$$\lfloor x\rfloor=n\quad\Longleftrightarrow\quad n\le xまず、負の数を確認します。 $-3\le x<0$の場合は$-\lfloor x\rfloor\le3$、$-x\le3$の場合は$x\lfloor x\rfloor\le9$となります。 $x<-3$ の場合、$\lfloor x\rfloor\le-4$ があり、その積は 12 より大きくなります。否定的な解決策はありません。
$0\le x<3$ の場合、積は 6 より小さくなります。 $x\ge4$ の場合、少なくとも 16 です。 $3\le x<4$ が残り、下限が 3 の範囲になります。
$$3x=10\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=\frac{10}{3}}.$$$3\le10/3<4$ として、解は使用される範囲を尊重します。
b) $\lfloor2x\rfloor+\lfloor x\rfloor=7$
$n\in\mathbb Z$と$0\le r<1$を合わせて$x=n+r$と書きます。それから
$$\lfloor2x\rfloor+\lfloor x\rfloor=3n+\lfloor2r\rfloor.$$最上階は0または1のみとなります。 0 の場合、$3n=7$ になりますが、整数では不可能です。 1 の場合、$3n+1=7$ があるため、$n=2$ と $1/2\le r<1$ になります。
それから、
$$\boxed{x\in\left[\frac52,3\right)}.$$$5+2=7$なので極端な$5/2$が入ります。極端な 3 は $6+3=9$ のため除外されます。
c) $\lfloor x^2\rfloor-4\lfloor x\rfloor+3=0$
方程式を並べ替えます。
$$\lfloor x^2\rfloor=4\lfloor x\rfloor-3.$$$x<1$の場合、右側は負、左側は非負になります。したがって$x\ge1$です。
$n=\lfloor x\rfloor\ge1$を設定してください。 $x\ge n$として$\lfloor x^2\rfloor\ge n^2$があります。必要な条件は、
$$n^2\le4n-3\quad\Rightarrow\quad(n-1)(n-3)\le0.$$したがって、$n=1,2,3$ を調べてください。いずれの場合も、$x$ と $x^2$ の両方のフロアを強制する必要があります。
| $n$ | $x^2$の状態 | $n\le x |
|---|---|---|
| 1 | $1\le x^2<2$ | $[1,\sqrt2)$ |
| 2 | $5\le x^2<6$ | $[\sqrt5,\sqrt6)$ |
| 3 | $9\le x^2<10$ | $[3,\sqrt{10})$ |
したがって、
$$\boxed{[1,\sqrt2)\cup[\sqrt5,\sqrt6)\cup[3,\sqrt{10})}.$$上限は、$x^2$ の下限が 1 単位増加するため除外されます。 $\lfloor x^2\rfloor$ を $\lfloor x\rfloor^2$ に置き換えることはできません。たとえば、$x=\sqrt5$ の場合、これらの値は 5 と 4 になります。