中央値、高さ、角の二等分線 は 3 辺からのみ計算できます。すべての公式は計量関係から生まれます。そして、スチュワートの単一の関係がそれらをすべて一度に解決します。

発見者

中央値の公式はアポロニウスの定理として知られており、 アレクサンドリアのパポはこの定理をペルガのアポロニウス (紀元前3世紀) によるものであるとしています。高さの公式は、 三角形の面積を辺の関数として表すサギの公式を使用しており、1 世紀にアレクサンドリアのサギがメートル法で実証しました（アラブ人はこれをアルキメデスの作としました）。頂点を反対側に接続する線分に成り立つ関係は、スコットランド人のマシュー・ スチュワートによって 1746 の書籍数学の高等部分でかなり使用される一般定理の中で発表されました。

ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。
ペルガのアポロニウス、後の芸術的表現。ジョバンニ・バッティスタのメモ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。
アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
アルキメデス、後の芸術的表現。
アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
マシュー・スチュワート。
マシュー・スチュワート。作者不明 作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

スチュワート (1717 – 1785) はグラスゴーでロバート シムソン、エディンバラでコリン マクローリンの学生であり、マクローリンの後任として数学教授として就任しました。彼は、太陽までの距離の計算などの天文学的な問題に対しても、ギリシャ風に純粋に幾何学的な方法を提唱しました。

ロバート・シムソン。
ロバート・シムソン。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
コリン・マクローリン。
コリン・マクローリン。David Steuart Erskine (1742–1829) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

頂点と反対側の点を結ぶ線分は、今日ではイタリアのジョバンニ チェヴァ (1678) にちなんでチェヴィアーナと呼ばれています。中央値、身長、および 角の二等分線 は特定の Cevian であるため、スチュワートの関係式によりそれらすべての式が得られます。

日常生活での応用

  • 構造。 節点を反対側の部材の点に接続するトラスの内部支柱の長さは、スチュワート関係の範囲外になります。
  • 土地の面積 ヘロンの公式では、角度を測定せずに、三角形の土地の面積を 3 辺の寸法のみで計算します。
  • デザインとコンピュータ グラフィックス。 モデリング プログラムは中央値と 重心 を計算して、三角形メッシュを分割し、バランスをとります。
  • 航海。 2 つの港の間の中間点とそこからの船の距離は中央値の問題です。

出典: Matthew Stewart (MacTutor) · Heron of Alexandria (MacTutor) · Apollonius (MacTutor)。

理論と作図

注目の線を選択し、頂点をドラッグします。図の寸法は、側面のみを除き、公式で計算された寸法と一致します。

中央値の計算

定理辺に応じた中央値

$a$、$b$、および $c$ は三角形の辺であるため、これらの辺に対する中央値が測定されます。

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}, \qquad m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2 + c^2) - b^2}, \qquad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2 + b^2) - c^2}.$$
控除額を見る

$M$ を $\overline{BC}$ の中点、$D$ を $A$ による高さの足とし、$x$ を $M$ から $D$ までの距離とします。三角形 $AMC$ と $AMB$ ($M$ では、一方は鈍角、もう一方は鋭角):

$$b^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 2\cdot\frac{a}{2}\cdot x, \qquad c^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{a}{2}\cdot x.$$

追加: $b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \dfrac{a^2}{2}$、次に $4m_a^2 = 2(b^2 + c^2) - a^2$。 $\hat M$ が直線の場合、ピタゴラスの定理に従って結果はすぐに得られます。

例辺が 5、7、8 の三角形の中央値

$a = 5$、$b = 7$、および $c = 8$ の場合:

$$m_a = \tfrac{1}{2}\sqrt{2(49 + 64) - 25} = \tfrac{1}{2}\sqrt{201}, \quad m_b = \tfrac{1}{2}\sqrt{2(25 + 64) - 49} = \tfrac{1}{2}\sqrt{129}, \quad m_c = \tfrac{1}{2}\sqrt{2(25 + 49) - 64} = \sqrt{21}.$$

注 三角形 $CBM$ と $CAM$ ($M$ の角度 $\alpha$) の余弦の法則により、式を使わずに $m_c$ を求めることができます: $5^2 = m_c^2 + 4^2 - 8m_c\cos\alpha$ と $7^2 = m_c^2 + 4^2 + 8m_c\cos\alpha$。 $2m_c^2 = 42$と$m_c = \sqrt{21}$を追加します。

高さの計算

定理側面に応じた高さ

$2p = a + b + c$ が三角形の周囲長である場合 ($p$ は半周囲長):

$$h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \qquad h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \qquad h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.$$
控除額を見る

$\overline{CD} = h_c$ と $m$ を $b$ の $c$ への投影とします。 $\triangle ADC$ の場合: $h_c^2 = b^2 - m^2$ (1)。メトリック関係によれば、$a^2 = b^2 + c^2 \mp 2cm$、つまり $m = \pm\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}$ (2)。 (2) を (1) に置き換えます。

$$4c^2h_c^2 = (2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2 = (2bc + b^2 + c^2 - a^2)(2bc - b^2 - c^2 + a^2)$$$$= [(b + c)^2 - a^2]\,[a^2 - (b - c)^2] = (b + c + a)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c).$$

$a + b + c = 2p$、$-a + b + c = 2(p - a)$、$a - b + c = 2(p - b)$、$a + b - c = 2(p - c)$ など:

$$4c^2h_c^2 = 2p \cdot 2(p - a) \cdot 2(p - b) \cdot 2(p - c) \;\Rightarrow\; h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.$$

例三角形の辺の高さ 5、7、8

$p = 10$、$p - a = 5$、$p - b = 3$、$p - c = 2$、$\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$。それから

$$h_a = \frac{2}{5}\cdot 10\sqrt{3} = 4\sqrt{3}, \qquad h_b = \frac{2}{7}\cdot 10\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{3}}{7}, \qquad h_c = \frac{2}{8}\cdot 10\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

注: 数式は必ずしも計算を単純化するとは限りません。辺 $\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、および 5 を持つ三角形では、最大の辺に対する高さはピタゴラスによってより速く求められます。$x$ では辺 $\sqrt{5}$、$h^2 + x^2 = 5$、および $h^2 + (5 - x)^2 = 10$ の投影。 $10x = 20$、$x = 2$、および $h = 1$ を減算します。

スチュワート比

定理スチュワート比

三角形 $ABC$ と $D$ が辺 $\overline{AB}$ 上の点であるとすると、$BC = a$、$AC = b$、$AB = c$、$DB = x$、$AD = y$、$CD = z$ となります。

$$a^2y + b^2x - z^2c = cxy.$$
点 D を辺 AB と頂点の上にドラッグします。スチュワートの二人の関係は常に同じままです。
デモを見る

$m$ を $\overline{CD}$ の $\overline{AB}$ への投影とします。三角形 $BCD$ と $ACD$ の計量関係によると、次のようになります ($D$ の一方の角は鋭角で、もう一方の角は鈍角です)。

$$a^2 = x^2 + z^2 \mp 2xm \quad (1) \qquad b^2 = y^2 + z^2 \pm 2ym \quad (2)$$

(1) に $y$ を乗算し、(2) に $x$ を乗算して加算すると、$m$ の項は互いに打ち消し合います。

$$a^2y + b^2x = xy(x + y) + z^2(x + y) = cxy + z^2c \;\Rightarrow\; a^2y + b^2x - z^2c = cxy.$$

例適用: 他の 3 つの円に接する円

円 $\lambda(O, 3)$、$\lambda(O_1, 2)$、$\lambda(O_2, 1)$ について考えます。円 $O_1$ と $O_2$ が 1 つの直径上にあり、2 つの最小の接線が互いに接し、内部で最大の接線を持ち、4 番目の円 $\lambda(O_3, x)$ が 3 つの円に接しているとします。三角形 $O_1O_2O_3$ 内: $O_1O_2 = 3$、$O_1O_3 = 2 + x$、$O_2O_3 = 1 + x$; $OO_1 = 1$、$OO_2 = 2$、および $OO_3 = 3 - x$ も含まれます。 Stewart の関係を cevian $\overline{O_3O}$ に適用すると、次のようになります。

$$(1 + x)^2 \cdot 1 + (2 + x)^2 \cdot 2 - (3 - x)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 28x = 24 \;\Rightarrow\; x = \frac{6}{7}.$$

注: スチュワート比を使用すると、中央値も計算されます。$x = y = \dfrac{c}{2}$ を取るだけです。

内部角の二等分線の計算

定理角の二等分線 側面により内部

$$s_a = \frac{2}{b + c}\sqrt{bc\,p(p - a)}, \qquad s_b = \frac{2}{a + c}\sqrt{ac\,p(p - b)}, \qquad s_c = \frac{2}{a + b}\sqrt{ab\,p(p - c)}.$$
控除額を見る

角の二等分線$\overline{AS}$は$\overline{BC}$を$x$（$B$側）と$y$（$C$側）に分割します。内部 角の二等分線、$\dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b}$、および $x + y = a$ の定理による。次に$x = \dfrac{ac}{b + c}$と$y = \dfrac{ab}{b + c}$。 $\triangle ABC$、$b^2x + c^2y - s_a^2a = xya$ の Stewart のリンクから。置換:

$$(b + c)^2 s_a^2 = bc\,[(b + c)^2 - a^2] = bc\,(b + c + a)(b + c - a) = bc \cdot 2p \cdot 2(p - a),$$

$s_a = \dfrac{2}{b + c}\sqrt{bc\,p(p - a)}$ です。

例角の二等分線 内部三角形の辺 5、7、および 8

$p = 10$、$p - a = 5$、$p - b = 3$、および $p - c = 2$ の場合:

$$s_a = \frac{2}{15}\sqrt{7 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{2}{15}\cdot 20\sqrt{7} = \frac{8\sqrt{7}}{3}, \qquad s_b = \frac{2}{13}\sqrt{5 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 3} = \frac{40\sqrt{3}}{13}, \qquad s_c = \frac{2}{12}\sqrt{5 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{7}}{3}.$$

外部角の二等分線の計算

定理角の二等分線 側面により外部

$$s^{\prime}_a = \frac{2}{|b - c|}\sqrt{bc\,(p - b)(p - c)}, \qquad s^{\prime}_b = \frac{2}{|a - c|}\sqrt{ac\,(p - a)(p - c)}, \qquad s^{\prime}_c = \frac{2}{|a - b|}\sqrt{ab\,(p - a)(p - b)}.$$

$b = c$の場合、$s^{\prime}_a$の式は意味がありません。二等辺三角形の頂点の外角の角の二等分線が底辺と平行になります。

控除額を見る

$b > c$とします。外部 角の二等分線 $\overline{AS^{\prime}}$ は、$B$ を越えた点 $S^{\prime}$ で線 $BC$ と交わります。 $S^{\prime}B = x$と$S^{\prime}C = y$なので$y - x = a$となります。外部 角の二等分線、$\dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b}$ の定理により;次に$x = \dfrac{ac}{b - c}$と$y = \dfrac{ab}{b - c}$。セビアン $\overline{AB}$ を使用して三角形 $AS^{\prime}C$ にスチュワート関係を適用する:

$$s^{\prime 2}_a \cdot a + b^2x - c^2y = a\,x\,y.$$

$x$ と $y$ を置き換えます:

$$(b - c)^2 s^{\prime 2}_a = bc\,[a^2 - (b - c)^2] = bc\,(a + b - c)(a - b + c) = bc \cdot 2(p - c) \cdot 2(p - b),$$

$s^{\prime}_a = \dfrac{2}{|b - c|}\sqrt{bc\,(p - b)(p - c)}$ です。 $b < c$ の場合、$b - c$ は $c - b$ に置き換えられます。これがモジュールに違いが現れる理由です。

例角の二等分線 外三角辺 5、7、8

$$s^{\prime}_a = \frac{2}{1}\sqrt{7 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 2} = 8\sqrt{21}, \qquad s^{\prime}_b = \frac{2}{3}\sqrt{5 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{40}{3}, \qquad s^{\prime}_c = \frac{2}{2}\sqrt{5 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = 5\sqrt{21}.$$