数学とは異なり、統計は確率変数を扱うため、分散測定は基本です。たとえば、大手メディアは、候補者 A は 45%、候補者 B は 30% などの決定論的な値を使用して作業していました。数学に関しては明らかに A が上ですが、統計に関してはわかりません。今日、彼らは「誤差の範囲」について話しながら、それを統計的な方法で提示しています。 「誤差の範囲」が 15% の場合、この 2 つは技術的には同等です。

例 1。

ばらつき対策

動機として、2 つの一体型生産ラインを検討してください。ピースの長さの平均測定値は 100cm で、どちらのラインもこの値に近い平均値のピースを生産しています。この場合、両方のラインで生産された部品は適切であると考えられますか?

例 1。

生産ライン間のばらつきが少ないほど、生産ラインの（位置の点で）正確さが増し、信頼性が高まります。より具体的に言えば、目標を達成する可能性が高くなります。

例 1。

定義 (分散の尺度): は、一連のデータを表す統計であり、データ分布の分散 (ばらつき、ばらつき) についての指針となります。

最も重要な分散対策は次のとおりです。

  • 振幅;
  • 分散;
  • 標準偏差。
  • 変動係数。

振幅

振幅は最も基本的な分散尺度であり、計算が簡単であるため、ほとんどのアプリケーションに適用されます。日常生活では、オーディオ プラットフォームは概念として振幅をよく使用します。

例 1。

定義 (振幅): は、データセット内の最大値と最小値の差です。

$$\\{\text{menor valor}, \dots, \text{maior valor}\\}$$$$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$$

データの振幅 R は次の式で与えられます。

$$R = X_{(n)}−X_{(1)}$$

注: 以下に重要な注記をいくつか示します。

  • インデックスが括弧内にある場合は、番号が順序付けされていることを意味します。
    • $X_{(1)}$は最小値です
    • $X_{1}$が最小値とは限りません
  • 不等式の概念から、$X_{(1)} \leq X_{(2)}$ が得られます。
    • $X_{(1)}$は$X_{(2)}$以下です
    • $X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)} \leq \dots \leq X_{(n−1)} \leq X_{(n)}$ は最小値から順に並べられます。
  • 振幅は $R$ という記号で与えられます。これは英語範囲に由来します。

カエルジャンプの例（振幅）

カエルのジャンプの高さであり、測定値は以下のとおりです。

例 1。
ジャンプ 身長(cm)
1 0
2 3
3 10
4 3
5 0

したがって、最大高と最小高さは次のとおりです。

  • $\max \\{\text{alturas}\\} = 10\text{ cm}$
  • $\min \\{\text{alturas}\\} = 0\text{ cm}$
  • $\text{Amplitude} = R = \max \\{\text{alturas}\\} - \min \\{\text{alturas}\\} = 10 - 0 = 10\text{ cm}$

分散

次に説明する分散の尺度は分散です。

分散には 2 つのタイプがあります。

  • 母集団分散: すべての母集団情報の分散値の計算です。
  • サンプリング分散: サンプル内のすべての情報の分散値の計算です。
例 1。

確率分布によって母集団をモデル化する場合。母集団分散の値はパラメータと呼ばれます。

定義 (パラメータ): 母集団を表す記述尺度。

例: 母集団の平均。

定義 (推定値): サンプルを参照する記述的な尺度。

例: サンプルの平均値。

定義 (推定): サンプルを参照した記述尺度の値。

例: 10 測定値の標本分散は 2 に等しい。したがって、サンプリング分散の推定値は 2 となります。

母集団分散

母集団分散は、他の記述尺度の計算よりも少し複雑です。平均からの偏差に基づいて計算されます。

$$d_{i} = \text{desvio} = (\text{medida} - \text{média}) = (X_{i} - \overline{X})$$

重要な特性は、偏差の合計がゼロに等しいということです。 5 の測定結果があるとします。

$$d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 0$$

N 個の要素からなる母集団では、母集団の分散は次の式で与えられます。

$$ \begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{d^2_1+\ldots+d^2_N}{N} \\ \sigma^2 &= \sum^N_{i=1}\dfrac{(X_i-\mu)^2}{N} \\ \end{aligned} $$

どこ： ​

  • N: 母集団サイズまたは母集団要素の数。
  • $\mu$: 母集団の平均を参照するパラメータ。
  • $x_1, \dots, x_N$: 人口要素。
  • $d_i = (X_i - \mu)$: $i=1,\dots, N$ の測定値 i の偏差です。
  • $\sum^N_{i=1}$: は合計記号です。この場合、合計は $1$ から $N$ になります。
例 1。

注: パラメータは通常ギリシャ文字で指定されますが、分散の場合はギリシャ文字 $\sigma^2$ で指定されます。

サンプルの分散

n 個の要素のサンプルでは、​​サンプリング分散は次の式で求められます。

$$ \begin{aligned} s^2 &= \dfrac{d^2_1+\ldots+d^2_n}{n} \\ s^2 &= \sum^n_{i=1}\dfrac{(X_i-\overline{X})^2}{n-1} \\ \end{aligned} $$

どこ： ​

  • n: サンプル サイズまたはサンプル要素の数。
  • $s^2$: サンプル分散を参照する推定量。
  • $x_1, \dots, x_n$: サンプル要素。
  • $d_i = (X_i - \overline{X})$: $i=1,\dots, n$ の測定値 i の偏差です。
  • $\sum^n_{i=1}$: は合計記号です。この場合、合計は $1$ から $n$ になります。 ​

注: 分散推定量は、英語の標準偏差に由来するため、文字 $s^2$ で与えられます。

カエルジャンプの例（分散）

カエルのジャンプの高さであり、測定値は以下のとおりです。

例 1。
ジャンプ 身長(cm)
1 10
2 11
3 9
4 8
5 10

このようにして、次の計算が行われます。

  • $\text{média} =\dfrac{10+11+9+8+10}{5} = \dfrac{48}{5}=9.6 \text{ cm}$
  • $\text{soma }\text{desvios}^2 = (10-9.6)^2 + (11-9.6)^2 + (9-9.6)^2 + (8-9.6)^2 + (10-9.6)^2 = 5.2$
  • $\text{Variância} = s^2 = \dfrac{5.2}{5-1} = 1.3 \text{ cm}^2$

母集団標準偏差

母集団の標準偏差は、分散の平方根で求められます。それでは、この 2 つの違いは何でしょうか?

部品を $cm$ の単位で測定すると、分散は $cm^2$ になり、標準偏差は $cm$ になるため、これは単なる実用的な応用にすぎません。これが実用上重要です。統計学者は数学的単純化のために分散を好みます。

N 個の要素からなる母集団の場合、母集団の標準偏差は次の式で求められます。

$$ \begin{aligned} \sigma &= \sqrt{ \text{variância} } \\ \sigma &= \sqrt{ \sum^N_{i=1}\dfrac{(X_i-\mu)^2}{N} } \\ \end{aligned} $$

どこ： ​

  • N: 母集団サイズまたは母集団要素の数。
  • $\mu$: 母集団の平均を参照するパラメータ。
  • $x_1, \dots, x_N$: 人口要素。
  • $d_i = (X_i - \mu)$: $i=1,\dots, N$ の測定値 i の偏差です。
  • $\sum^N_{i=1}$: は合計記号です。この場合、合計は $1$ から $N$ になります。
例 1。

注: パラメータは通常ギリシャ文字で与えられますが、標準偏差の場合はギリシャ文字 $\sigma$ で与えられます。

サンプル標準偏差

n 要素のサンプルでは、​​サンプル標準偏差は次の式で求められます。

$$ \begin{aligned} s &= \sqrt{\text{variância} } \\ s &= \sqrt{\sum^n_{i=1}\dfrac{(X_i-\overline{X})^2}{n-1} }\\ \end{aligned} $$

どこ： ​

  • n: サンプル サイズまたはサンプル要素の数。
  • $s^2$: サンプル分散を参照する推定量。
  • $x_1, \dots, x_n$: サンプル要素。
  • $d_i = (X_i - \overline{X})$: $i=1,\dots, n$ の測定値 i の偏差です。
  • $\sum^n_{i=1}$: は合計記号です。この場合、合計は $1$ から $n$ になります。 ​

カエルジャンプの例（標準偏差）

カエルのジャンプの高さであり、測定値は以下のとおりです。

例 1。
ジャンプ 身長(cm)
1 10
2 11
3 9
4 8
5 10

このようにして、次の計算が行われます。

  • $\text{média} =\dfrac{10+11+9+8+10}{5} = \dfrac{48}{5}=9.6 \text{ cm}$
  • $\text{Variância} = s^2 = \dfrac{5.2}{5-1} = 1.3 \text{ cm}$
  • $\text{Desvio-padrão} = s = \sqrt{1.3} \approx 1.14 \text{ cm}$
例 1。

したがって、カエルのジャンプは$9.6 \text{ cm} \pm 1.14\text{ cm}$です。

選挙候補者の例（標準偏差）

大統領選挙の世論調査が 2022 年のものであるとします。

例 1。
候補者 平均投票率
A 35 %
B 38 %
C 20 %
D 8 %

「誤差の範囲」は$\pm 5$%です。どの候補者が選挙戦をリードしているでしょうか?

例 1。

「誤差の範囲」を使用すると、次のようなシナリオが考えられます。

候補者 平均投票率 下限 上限
A 35 % 30 % 40 %
B 38 % 33 % 42 %
C 20 % 15 % 25 %
D 8 % 3 % 13 %
例 1。

A と B の範囲の間に交差があるため、それらは「技術的に」または統計的に同率で 1 位であることがわかります。

これは分散対策についての簡単な紹介です。次の投稿をお待ちください。