Euler's Eyes
2026-10-11
ライプニッツの機械：計算を動きに変える
1642 年、若きブレーズ・パスカルは、徴税官だった父を助けるために機械を作りました。この「パスカリーヌ」は歯車を回して足し算と引き算をしました。しかし掛け算をするには、足し算を手で何度もくり返さなければなりませんでした。
ライプニッツはパリでパスカリーヌを見て、さらに先へ進みたいと考えました。ひとりでに掛け算と割り算をする機械です。
掛け算は足し算と桁送り
こつは学校で習う筆算と同じです。$23\times14$ を計算するには、14 を $4+10$ に分けます。
$$23\times14=23\times4+23\times10=92+230=322.$$4 を掛けるとは 23 を 4 回足すこと。10 を掛けるとは、数を 1 桁左にずらすだけです。だから、足し算が得意で桁送りもできる機械なら、どんな掛け算でもできるのです。
段付き円筒
問題は、操作する人がもう一度入力しなくても、同じ数を何回も足せるようにすることでした。ライプニッツの解決策は段付き円筒（ドイツ語で Staffelwalze）でした。長さの違う 9 本の歯をもつ円筒で、階段が巻きついたような形をしています。
小さな歯車が円筒の横をすべります。歯車が「3」の高さにあれば、円筒が 1 回転するごとに 3 本の歯だけがかみ合い、歯車は 3 目盛り回ります。「7」の高さなら 7 目盛り回ります。つまり歯車の位置を合わせることで、機械に数字を記憶させるのです。クランクを 1 回まわすごとに、その数字がもう一度足されます。
$23\times4$ なら、2 と 3 を設定してクランクを 4 回まわします。次に機械の可動部を 1 桁ずらし、もう 1 回まわして $23\times10$ を足します。結果がダイヤルに表示されます。322 です。
繰り上がりの問題
十進法の歯車で 9 に 1 を足すと、ダイヤルは 0 に戻り、次の歯車が 1 目盛り進まなければなりません。これが「繰り上がり」です。$9999+1$ では、4 つの歯車が順番に、正しいタイミングで繰り上がりを伝えなければなりません。17 世紀の部品の精度では、ここがもっとも難しいところでした。
ライプニッツは 1673 年、未完成の木製模型を王立協会で披露しました。その後 20 年以上、時計職人とともに設計の改良を続け、ちょっとした財産を費やしました。19 世紀の終わりにこの機械を詳しく調べたところ、繰り上がりの機構がある場合にうまく動かないことがわかりました。数学的な考えは正しかったのです。難しかったのは機械として実現することでした。
3 世紀続いた機構
段付き円筒はこの機械の大きな遺産となりました。1820 年、フランスのトマ・ド・コルマールが同じ考えを使ってアリスモメーターを作りました。これは初めて量産された計算機で、20 世紀のはじめまで売られていました。1948 年には、手のひらに収まるオーストリアの小型計算機クルタもまだ段付き円筒で動いていました。それが引退したのは、1970 年代に電子式計算機が登場してからです。
ライプニッツにとって、この機械には事務員の時間を節約する以上の意味がありました。推論は、精密な規則で書かれていれば、機械で実行できることを示していたのです。同じ考えは、彼の推論を計算するという夢にも現れます。
練習：37 × 12 を機械と同じように分解せよ
$37\times12=37\times2+37\times10=74+370=444$。機械では、37 で 2 回まわし、1 桁ずらして、もう 1 回まわします。
練習：58 × 203 を計算するのに、クランクを何回まわす必要があるか？
$203=3+0\cdot10+2\cdot100$。一の位で 3 回、十の位で 0 回、百の位で 2 回、合わせて 5 回（ほかに桁送り）。結果は $58\times203=11\,774$。
資料： ハノーファー・ライプニッツ大学のライプニッツ展 · MacTutor の伝記。
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