Euler's Eyes
2026-10-15
ガロアの虚数：有限体
1830 年 6 月、18 歳のガロアは、パリの科学紀要に『数の理論について』という短い論文を発表しました。その中で彼は、有限個の数しかない世界のために新しい数を発明し、それを虚数と呼びました。一世紀以上のあいだ、この論文は珍品のように見えていました。今日、それはすべての携帯電話の中にあります。
余りで数える
時計の算術では、決まった数で割った余りだけを使って数えます。5 なら $0, 1, 2, 3, 4$ しかなく、計算は「一周して」戻ってきます。
$$3+4=7\equiv2,\qquad3\cdot4=12\equiv2\pmod5.$$5 を法とするかけ算の表を見てみましょう。
| $\times$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 4 | 3 | 2 | 1 |
どの行にも 1 が現れます。つまり 0 でないどの数にも逆元があるのです：$2\cdot3\equiv1$、$4\cdot4\equiv1$。割り算ができます！ たった 5 個の数で、有理数と同じように四則演算がそろった完全な算術ができるのです。このような構造を体といいます。
6 ではうまくいきません。$2\cdot3=6\equiv0$ なので、2 は逆元をもてません。もし $2x\equiv1$ なら、3 をかけて $0\equiv3$ となってしまいます。$n$ で割った余りが体をつくるのは、$n$ が素数のとき、そしてそのときに限ります。
三つの数の世界の i
3 を法とすると $0, 1, 2$ しかありません。方程式 $x^2+1=0$、つまり $x^2\equiv2$ には解がありません：$0^2=0$、$1^2=1$、$2^2=4\equiv1$。実数で $x^2=-1$ に解がないのと同じ状況です。
ガロアは実数のときと同じことをしました。根を発明したのです。それを $i$ と呼び、$i^2\equiv-1\equiv2$ として、
$$a+bi,\qquad a,b\in\{0,1,2\}$$という形のすべての数を考えました。全部で $3\times3=9$ 個の数があり、計算はふつうの規則に従って、3 を法として簡単にします。たとえば
$$(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i.$$続けると、$(1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4\equiv2$、$(1+i)^8=2^2=4\equiv1$。八つのべき $(1+i)^1,\dots,(1+i)^8$ はすべて異なり、0 でない八つの数をすべてめぐります。こうして、元が九つの体ができます。
ガロアの定理
ガロアは、同じことが一般に成り立つことを証明しました。各素数 $p$ と各 $n\geq1$ について、元がちょうど $p^n$ 個の体が存在し、それは $p$ を法として根をもたない多項式の「虚の」根を使ってつくられます。そしてどの有限体にも、例の $1+i$ のように、そのべきが 0 でないすべての元を与える元があります。のちに、ほかにはないことが証明されました。どの有限体も $p^n$ 個の元をもち、元の個数が同じ二つの体は本質的に同じなのです。彼をたたえて、$p^n$ 個の元の体はガロア体と呼ばれ、$\mathrm{GF}(p^n)$ と書かれます。
携帯電話の中で
コンピューターはすべてを 8 ビットのバイトで記憶し、異なるバイトは $2^8=256$ 個あります。ちょうど $\mathrm{GF}(2^8)$ の元の個数です。各バイトをこの体の元として扱えば、バイトどうしを足し、かけ、割ることができ、それが二つの技術への道を開きます。
- 1960 年のリード・ソロモン符号は、ガロア体上の多項式で計算したいくつかの検査用バイトをデータに加えます。データの一部が失われても、方程式によってそれを取り戻せるのです。傷がついても再生できる CD や DVD、画像の 30% までが損なわれても読める QR コード、宇宙探査機との通信に使われています。
- 2001 年にアメリカ政府が採用し、インターネットの安全な接続に使われている暗号規格 AES は、$\mathrm{GF}(2^8)$ での計算でデータをかき混ぜます。
練習問題：7 を法として、3 の逆元は何か。6 の逆元はどうか。
$3x\equiv1\pmod7$ となる $x$ を探します。試すと $3\cdot5=15=2\cdot7+1$ なので、3 の逆元は 5 です。6 については $6\cdot6=36=5\cdot7+1$ で、6 は自分自身の逆元です。$6\equiv-1$ で $(-1)\cdot(-1)=1$ だから、納得がいきます。
練習問題：九つの元の体で (1 + i)(2 + i) を計算せよ。
$(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=2+3i-1=1+3i$。$3\equiv0$ なので結果は $1$ です。よって $2+i$ は $1+i$ の逆元です。この九つの数の世界では $\frac1{1+i}=2+i$ なのです。
出典： Évariste Galois、“Sur la théorie des nombres”、Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13（1830）· Rudolf Lidl、Harald Niederreiter、Finite Fields（Cambridge University Press、1997）· Irving Reed、Gustave Solomon、“Polynomial codes over certain finite fields”、Journal of the SIAM 8（1960）。