Euler's Eyes
2026-10-11
角の二等分線 定理
三角形の角度の 角の二等分線 は、反対側の辺を他の 2 つの辺に比例する部分に分割します。
発見者
ザ 内部二等分定理 です 提案 VI.3 の 要素 の ユークリッド (紀元前300年頃)。だ 外二等分線 それはギリシャ語本文にはありません。それはスコットランド人によって第 VI 巻の「命題 A」として追加されました。 ロバート・シムソン、彼の版では 要素 1756 年に出版され、1 世紀以上にわたって英国で幾何学教育の基礎として機能しました。 2 つの二等分線は、 アポロニウスの円、によって研究されました ペルガのアポロニウス （紀元前3世紀）。
歴史
アポロニウスは、2 つの固定点までの距離の比が一定である点が円を形成することを示しました。内側と外側の 角の二等分線 は、比率を分割する 2 つの点でセグメントを切り取ります。これらの 2 点は、その円の直径の端になります。
ユークリッドの証明は 角の二等分線 との類似を使用し、前のトピックのタレスの定理に戻ります。これは、原論 の結果がどのように相互にサポートされるかを示すもう 1 つの例です。
日常生活での応用
- 迫害。 アポロニウスの円は、逃亡者の 2 倍の速度で追跡者が追いついた場所に対応します。集合場所となる可能性のある場所がこの円を形成します。
- 按分。 角の二等分線 の 1 つの角にあるフェンスは、三角形の土地の正面を他の辺に比例して分割します。
- 照明。 力の異なる 2 つの極を備えた正方形で、それぞれの極から同じ光を受ける点はアポロニウス円を形成します。
- 光学。 鏡では、反射された光線は法線と等しい角度を形成し、入射光線と出射光線の間で 角の二等分線 として機能します。
出典: 要素、命題 VI.3 · ロバート シムソン (MacTutor) · アポロニアス (MacTutor)。
理論と作図
定理内部 角の二等分線 定理
三角形の内部角の二等分線は、 反対側の辺を隣接する辺に比例した（加法的な） セグメントに分割します。 $\overline{AD}$ が内部 角の二等分線、$DB = x$、および $DC = y$ ($x + y = a$ を含む) の場合:
$$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$デモ
- $C$ を通して 角の二等分線 $\overline{AD}$ に平行線を引き、$E$ で直線 $AB$ を切ります。
- $\hat{1} = B\hat{A}D$、$\hat{2} = D\hat{A}C$、$\hat{3} = A\hat{E}C$、$\hat{4} = A\hat{C}E$とします。
- $\overline{CE} \parallel \overline{AD}$: $\hat{1} \equiv \hat{3}$ (特派員) および $\hat{2} \equiv \hat{4}$ (社内補欠)。
- $\hat{1} \equiv \hat{2}$ として、$\hat{3} \equiv \hat{4}$ があります。$\triangle ACE$ は底面が $\overline{CE}$、および $AE = AC = b$ の二等辺です。
- タレスの定理によると、横線 $BC$ および $BE$ とビーム $AD \parallel CE$: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{c}{b}$、つまり $\dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b}$。
定理外部角の二等分線定理
三角形の外角の角の二等分線が反対側の辺の直線を切ると、 この辺を外側に隣接する辺に比例した（減算）線分に分割します。 $D$ をその点として、$DB = x$ と $DC = y$ ($x - y = a$ を含む):
$$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$三角形が底辺$\overline{BC}$の二等辺である場合、$A$の外形角の二等分線は$\overline{BC}$ と平行であり、その逆も同様です。
デモは前のデモと同じです。$C$ を通して外部の 角の二等分線 に平行に描画し、$AE = b$ で 二等辺三角形 $ACE$ を再度取得し、タレスを適用します。