前回の投稿では、比率とその主な用途について説明しました。ここでは、幾何学的な形でそれにアプローチします。これは数学の研究の継続にとって非常に重要です。これらの概念は、紀元前 3 世紀に生きたギリシャの数学者であり、今日私たちが知っている幾何学の作成に責任を負ったユークリッドによって重点的に取り上げられました。

ユークリッドの作品。

このタイプの状況は、三角形の相似性やタレスの定理など、幾何学でよく見られます。

類似性と比例性の概念は、古代ギリシャの数学者によって使用され、地球、太陽、月などの星の大きさを計算する方法を発見しました。

三角形の相似性

入学試験で使用される光学系は、ピエール フェルマーの著作『Variar Opera Mathematica de 1679』の中で発見されました。元の名前はクレマン・サミュエル・フェルマーですが、ピエール・フェルマーとして知られるようになりました。フェルマーの研究から、2 つの重要な結果を強調します。

光の反射 光の屈折

これは三角形の相似性を利用した例です。三角形の相似とは、2 つの三角形の辺と角の比率が同じであれば相似であるという概念です。

三角形が類似する主な理由は、まさに四角形の特殊な場合にあります。定義を思い出してみましょう。

三角形 は 3 辺の多角形で、辺には直線セグメントを使用します。これは四角形を 2 で割ったものなので、四角形の特殊なケースです。

特に、三角形は 3 個の頂点によって形成されます。

三角形の別の定義は、名前の由来によるものです。

  • トライ は 3 (3) として定義されます。
  • 角度 は、頂点で結ばれた 2 つの直線間の**「開口部」** です。

角度 - 角度の合同

ユークリッドが定義した最初のカノン (神の法則) は次のとおりです。

Canon α et (more) β et (more) γ aequalis (等しい) 180°

神の法則 α + β + γ = 180°

三角形 角度 ハーフターン

このようにして、角度による三角形の比例性の最初の基準を定義できます。

基準（角度、角度）: 2 つの三角形が互いに合同な 2 つの角度をきれいに得られる場合、それらは相似になります。

図から次のことが得られます。

  • 頂点角度 B は頂点角度 E と一致 $\equiv$ (等しい) です。
    • $\angle B \equiv \angle E$
  • 頂点 A の角度は頂点 D の角度と一致 $\equiv$ (等しい) です。
    • $\angle A \equiv \angle D$

合同 辺 - 角度 - 辺

基準（辺、角度、辺）: 2 つの三角形に、互いに比例する対応する 2 つの辺があり、それらの辺の間の角度が合同 (等しい) 場合、三角形は相似になります。

このようにして、次の比例関係が得られます。

$$\dfrac{\bar{AB} }{\bar{CD} } = \dfrac{\bar{AC} }{\bar{EF} }$$

側面-側面-側面の合同

基準 (辺、辺、辺): 2 つの三角形に、互いに比例する 3 つの対応する辺がある場合、それらは相似になります。

このようにして、次の比例関係が得られます。

$$\dfrac{\bar{AB} }{\bar{DE} } = \dfrac{\bar{AC} }{\bar{DF} } = \dfrac{\bar{BC} }{\bar{EF} }$$

典型的な例

クラシック: 次の 2 つの三角形は相似です。セグメント DF の寸法を決定します。

解決策:

三角形の相似性から次のことが得られます。

$$\dfrac{\bar{AC} }{\bar{AB} } = \dfrac{\bar{DF} }{\bar{DE} }$$

$$\dfrac{5 }{4 } = \dfrac{x }{14 }$$

$$x = \dfrac{35 }{2 }$$

入学試験例（Fuvest）

フベスト: 次の図で、三角形ABCはAで直角、ADEFは正方形、$AB=1$と$AC=3.$ 正方形の一辺の長さはどれくらいですか?

解決策:

最初に、基準 (辺、角度、辺) を適用します。角度 A が正しいので、基準 (辺、辺、辺) を適用できます。

$$\dfrac{\bar{DB} }{\bar{DE} } = \dfrac{\bar{FE} }{\bar{FC} }$$

このようにして、以下が得られます。

$$\dfrac{1-x }{x } = \dfrac{x }{3-x }$$

$$(1-x)(3-x) = x~.~x$$

$$x = \dfrac{3}{4}$$

したがって、正方形の一辺は$\dfrac{3}{4}$となります。

タレスの定理

比例を使った次のトピックは、ミレトスのタレスの定理です。この偉大な幾何学は紀元前 6 世紀に高く評価されました。

グラフィコのエウクリデス。

これらの多大な貢献により、彼は記述幾何学の先駆者の一人として認められるようになりました。

テイルズの定理: 幾何学に適用される比例関係です。 少なくとも 3 本の直線を含む平行線の束が 2 本の横線と交差する場合、一方の横線の任意の 2 つのセグメントは、もう一方の対応するセグメントに比例します。

3 つの平行線が 2 つの横線で切断され、4 つのセグメントが形成されます。

グラフィコのエウクリデス。

三角形の相似性の概念を使用すると、次の図が観察されます。

グラフィコのエウクリデス。

したがって、次のような比例関係が得られます。

$$\dfrac{\bar{AB} }{\bar{A^\prime B^\prime} } = \dfrac{\bar{BC} }{\bar{B^\prime C^\prime} }$$

物語の例

$x$を見つけます。 グラフィコのエウクリデス。

テイルズの定理から次のことが得られます。

$$\dfrac{15}{5} = \dfrac{20 }{x }$$

$$x = \dfrac{100 }{15 }$$

$$x = \dfrac{20 }{3 }$$