以前の投稿では、関連性の概念を表現する方法について説明し、いくつかの重要なセットを紹介しました。ここでは、2 つの集合間の等価性と平等性について説明します。

集合の等価性

最初に、2 つのセットが等しいことを定義しましょう。

定義 (2 つのセットの等しい): 2 つのセットがまったく同じ要素を持っている場合、2 つのセットは等しいです。

例 1。

例 1: セット $A$ と $B$ に同じ要素があるとします。

$$A = \\{\text{inteiros múltiplos de } 2\\}$$

$$B = \\{2n; ~k\in \mathbb{Z}\\}$$

表記: 2 つの等しいセット $X$ と $Y$ を $X=Y.$ と書きます。

異なるセット

表記: 2 つの異なるセット $X$ と $Y$ を $X\neq Y.$ と書きます。

例 1。

例 2: セットを $A$ と $B$ とします。

  • $X=\\{1,2,3\\}$
  • $Y=\\{1,2\\}$
  • この場合、$X$には$Y$に属さない要素($3$)があるため、$X\neq Y,$となります。

集合の等価性

等価性について話す前に、1 対 1 対応の定義を念頭に置く必要があります。

定義（一対一対応）： は、同じ数の共通要素を持つ集合に与えられる式です。

例 1。

これにより、2 つのセットの等価性を定義できます。

定義 (2 つの集合の等価): 2 つの集合は、要素を 1 対 1 に対応させて配置できる場合に等価です。より具体的には、これらのセットの 1 つの各要素を他のセットの 1 つの要素に関連付けることができ、またその逆も可能かどうかです。したがって、最初のセットの異なる要素は、2 番目のセットの異なる要素に関連付けられます。

例 1。
注: 2 つの等しいセットは同等ですが、 2 つの等価なセットは必ずしも等しいとは限りません。

セットの等価性の概念を理解するには、次の例を見てください。

例 3: セットを $A$ と $B$ とします。

$$C = \\{a, b, c, d, e\\} \text{ e } D = \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$$

は同等です。実際、その要素間の可能な 1 対 1 対応は次のとおりです。

  • $1 \leftrightarrow a$
  • $2 \leftrightarrow b$
  • $3 \leftrightarrow c$
  • $4 \leftrightarrow d$
  • $5 \leftrightarrow e$

セット表記では$C \leftrightarrow D$。

有限集合

セット間の等価性の定義は、 次のセットを定義します。

定義 (有限集合): $A$ が空であるか、次の形式の集合と同等の場合、集合 $A$ は有限です。

$$\\{1, 2, 3, \dots , n\\}$$

いくつかの $n \in \mathbb{N}$ (自然のセットに属する) について。

例 1。
注: $A$ が空 ($A= \emptyset$) の場合、$(0)$ 要素がゼロであると言えます。

セットの基数

次に、セットのカーディナリティを定義します。

定義 (集合の濃度): $A$ を有限集合とし、$\\{1, 2, 3, \dots , n\\}$ と同等とします。この場合、$A$ には $n$ 要素、 またはカーディナリティ $n$ があります。

例 1。

このタイプの場合の表記は次のとおりです。

表記: 有限集合 $A$ 内の要素の数を $|A|$ または $\\#A $ と書くことで表します。

例 3: セットを $A$ と $B$ として、セットの基数を計算します。

  • $A = \\{1,2,3\\}$
    • $\\#A = 3$
  • $B = \\{1,2,7,8\\}$
    • $\\#B = 4$
例 1。
注: 有限でない集合は無限であると言われます。無限集合の例としては $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \\{x;~ x \text{ é inteiro par}\\}.$ があります。

これらはセットの等価性の概念です。次の投稿をお待ちください。