章の演習 14 — 直角三角形

以下の場合の$x$の値を求めます。

次の場合、$x$ を $a$ の関数として決定します。

次の場合に $x$ を決定します。

次の場合に $x$ を決定します。

図に示されている要素との 10 メトリック関係を記述します。

次の場合に $x$ を決定します。

図において、要素$x$、$y$、$z$、$t$を求めます。

以下の場合の$x$と$y$を求めます。

$x$の値を決定します。

図中の要素$y$、$z$、$t$、$x$を計算します。

次の場合の円の半径を決定します。

次の場合に $x$ を決定します。 a) 二等辺三角形; b) 正三角形。

次の場合の $x$ の値を決定します。 a) 長方形。 b) 正方形。

二等脚台形の$x$の値を求めます。

長方形台形の$x$の値を求めます。

ダイヤモンドの$x$の値を求めます。

平行四辺形の$x$の値を求めます。

図の台形の高さを決定します。

この場合の$x$の値を求めます。

以下の場合の$x$の値を求めます。

この本の解像度を参照してください (項目 d)

接点に向かう光線をたどると、高さ$x$の直方体台形が得られます。強調表示された三角形にピタゴラスの定理を適用します。

$$x^2 + 1^2 = 8^2 \;\Rightarrow\; x^2 = 63 \;\Rightarrow\; x = 3\sqrt{7}.$$

次の場合の円の半径を決定します。

次の場合の $x$ の値を決定します (b では、$AB = 15$)。

図の円の半径を決定します。 a) 底面が 10 m および 15 m の長方形台形。 b) $AH = 25$ m、$BC = 30$ m、および $AB = AC$。

以下の場合の$x$の値を求めます。

直角三角形が次の場合に、円の半径を決定します。 a) 6 m および 8 m の辺。 b) 8 m の辺と $4\sqrt{13}$ m の斜辺。

図の $x$ の値を決定します。

周囲長20mの正方形の対角線を求めます。

外周が20 m、底辺が6 mの長方形の対角線を求めます。

ひし形の周囲の長さは52 m、対角線の長さは10 mです。もう一方の対角線を計算します。

外周の高さ 正三角形 24 m を決定します。

高さ 正三角形 6 m の周囲を決定します。

二等辺三角形 の周囲の長さは 18 m、底辺に対する高さは 3 m です。ベースを決めます。

辺の長さが 4 m、5 m、および 6 m である三角形の最小の高さを求めます。

10 m、10 m、および 12 m の辺を持つ 二等辺三角形 の底面を基準にしない高さを決定します。

長方形の高さは 8 m で、対角線は底辺を 2 m 超えます。対角線を計算します。

長方形の周囲の長さは 30 m、対角の長さは $5\sqrt{5}$ m です。この長方形の辺を決めます。

底辺に対して二等辺三角形高さは底辺を2m超えます。周囲が36 mである場合の底辺を決定します。

二等辺三角形 の合同な辺はそれぞれ、底辺を 3 m 超えます。底辺に対する高さが12 mであるかどうかを決定します。

周囲が 68 m のひし形の対角線の測定値の差は 14 m です。このひし形の対角線を求めます。

長方形台形の底辺の長さは 3 m と 9 m で、周囲の長さは 30 m です。高さを計算します。

脚の直角三角形12cmと16cmの斜辺上の脚の高さと突出量を計算します。

脚の直角三角形の斜辺、斜辺に対する高さ、斜辺上の脚の投影3、4を計算します。

正三角形 辺が $a$ であるとすると、その高さを計算します。

高さ 2,5 m のはしごが壁に立てかけてあり、その足は壁から 1,5 m 離れています。このような条件下で、はしごが壁に到達する高さを決定します。

直角三角形の斜辺に対する高さは 12 m です。斜辺の長さが 25 m の場合、脚を計算します。

三角形 $ABC$、長方形 $A$ では、斜辺に対する高さは 1,2 cm、斜辺に対する高さは 2,5 cm になります。斜辺上の最大辺と最小辺の投影をそれぞれ$m$と$n$として、$\dfrac{m}{n}$を計算します。

2 人の自転車に乗って同じ街からまっすぐに出発します。 1 つは東へ、もう 1 つは北へ。自転車の速度がそれぞれ 30 km/h と 45 km/h であることがわかっているので、2 時間後の両者の距離を求めます。

二等辺台形の底辺の長さは、それぞれ 12 m と 20 m です。平行でない辺の合計は 10 m に等しくなります。身長はどれくらいですか？

二等辺台形の底辺は 7 と 19、非平行な辺は 10 となります。この台形の高さを計算します。

長方形台形では、底辺の合計は 16 cm で、一方がもう一方の底辺の $\dfrac{3}{5}$ になります。斜辺が5cmであることを知って高さを決定します。

図において、長方形台形の高さ$ABCD$を計算します。

直角三角形の脚の二乗と斜辺の二乗の和が 200 に等しいことがわかっているので、その三角形の斜辺の大きさを求めます。

底辺16cm、高さ6cmの二等辺三角形の周囲を計算します。

平行でない辺の寸法がそれぞれ 15 cm と 13 cm であることを知って、底辺が 24 cm と 10 cm である台形の高さを決定します。

円に外接する二等脚台形の最大の底辺と底辺に傾いた辺の一つは、それぞれ18cmと13cmに等しい。台形の高さを決めます。

2 つの割円に共通する弦の長さは 16 cm です。 10 cm と 17 cm で円の半径を測定し、中心間の距離を求めます。

それを円の外側の点$P$としましょう。この点から円周までの最短距離は6cm、この点から円周までの最大距離は24cmです。この点を通る円への接線の長さを決定します。

半径 12 cm と 20 cm の 2 つの円は外接しています。 $P$ と $Q$ の接点を使用して、2 つの円に共通の接線であるセグメント $\overline{PQ}$ の長さを決定します。

外接二等辺台形の底辺の長さは 8 cm と 16 cm です。台形の高さを計算します。

二等辺台形に内接する円の直径は、台形の底辺間の幾何平均であることを証明してください。

$AD = 12$ cm、$AE = 15$ cm、$AB = 8$ cm であることがわかっているので、図の円の半径の測定値を計算します。

高さ8の二等辺三角形に半径3の円が内接します。三角形の底辺の寸法を計算します。

直角三角形 $ABC$ の斜辺 $\overline{AB}$ 上に、斜辺 $\overline{AB}$ をもつ 2 番目の直角三角形 $ABD$ が構築されます。 $BC = 1$、$AC = b$、$AD = 2$の場合は$BD$を計算します。

図の台形$ABCD$では、対角線$\overline{AC}$と斜辺$\overline{AD}$が直交しています。 $CD = 25$cmと$AD = 15$cmで台形の高さを決めます。

図の長方形台形の対角線の寸法 $\overline{AC}$ を決定します。底辺の寸法がそれぞれ 4 cm と 9 cm であり、辺 $\overline{BC}$ の寸法が $\sqrt{34}$ cm であることがわかります。

線分$\overline{AB}$は、中心$O_1$、$O_2$の円周に接する点として端$A$、$B$を持ちます。これらの円の半径をそれぞれ 15 cm と 3 cm、中心間の距離を 24 cm として、セグメント $\overline{AB}$ を決定します。

直角三角形の斜辺の寸法を決定します。24 m は周囲長、$\dfrac{24}{5}$ m は斜辺に対する高さの寸法です。

直径$AOB = 2r$の半円を考えてみましょう。内部的に、直径 $\overline{OA}$ と $\overline{OB}$ の 2 つの新しい半円と、これら 3 つの半円に接する円を構築します。この円の半径を計算します。

直線の同じ側に、直線に接し、互いに 2 つずつ接する 3 つの円が描かれます。そのうち 2 つの半径が 16 に等しいことがわかっているので、3 番目の半径を計算します。

正八角形は、正方形の頂点で直角二等辺三角形を切ると形成されます。正方形の一辺が1の場合、削除された三角形の辺の長さはどれくらいですか?

図のような2つの接円を考えてみましょう。 $E$ を小さい円の中心、$F$ 2 つの円の接点、$a$ を正方形の辺として、$a$ の関数として小さい円の半径を決定します。

辺が $a$ の正方形 $Q$ と、$Q$ の内側に同じ半径の 5 つの円 $r$ があるとします。そのうちの 1 つは $Q$ と同心で、外側で他の 4 つの円に接しており、これらのそれぞれは $Q$ の連続する 2 つの辺に接しています。 $r$ の寸法を正方形の辺の寸法 $a$ の関数として決定します。

図では、$\overline{AC}$ と $\overline{AD}$ が点 $C$ と $D$ で円に接し、$BE = 12$ cm と $AE = 54$ cm であることがわかり、円の半径を決定します。

2 台のケーブルカー $T_1$ と $T_2$ は、水平面にある駅 $E$ から 2 つの山の頂上 $P_1$ と $P_2$ に向かって出発します。ケーブルカーがそれぞれ 1 500 m と 2 900 m をカバーしていること、最初の山の高さが 900 m で 2 番目の山の高さが 2 000 m であること、および山の麓と $E$ が一直線上にあることを知って、$P_1$ と $P_2$ の間の距離を決定します。

図のように、内部で互いに接する 2 つの円があるとします。 $PQ = 8$cmと$ST = 3$cmなので、$\overline{RQ}$の寸法を計算します。

中心$O$、半径$R$の円において、弦$AB = \dfrac{R}{2}$を考える。扇形$OAB$に内接する円の半径を計算します。

正方形の辺に、底辺からの高さが 3 cm に等しい 4 つの 二等辺三角形 を外側に描きます。 4 つの三角形の頂点が同じ円に属し、半径が $3(\sqrt{2} + 2)$ cm に等しいことがわかっているので、正方形の周囲長を決定します。

2 つの正方形 $ABCD$ と $CDEF$ は辺 $\overline{CD}$ を共有します。対角線$\overline{AC}$と$\overline{EC}$を描きます。 $AM = \dfrac{1}{3}AC$と$EP = \dfrac{1}{2}CE$なので、$\overline{AC}$に$M$、$\overline{CE}$に$P$があり、正方形の辺$a$に応じて線分$\overline{PM}$が決まります。

周囲が $(18 + 6\sqrt{3})$ m の直角三角形の斜辺に対する高さと中央値の間の距離を決定します。斜辺上の脚の投影は数値 1 と 3 に正比例することがわかります。

斜辺に対する中央値と高さがそれぞれ 4 cm と $2\sqrt{3}$ cm であることがわかり、直角三角形の周囲長を決定します。

脚 $\overline{AB}$ と $\overline{AC}$ がそれぞれ 80 cm と 60 cm に等しい直角三角形 $ABC$ がある場合、三角形の斜辺に対する高さ $\overline{AH}$ と中央値 $\overline{AM}$ を考慮します。セグメント $\overline{AH}$、$\overline{AM}$、$\overline{HB}$、$\overline{HC}$、$\overline{MH}$ の寸法と三角形の斜辺を計算します。

二等辺三角形 の底辺に対する高さを、底辺 $a$ と内接円の半径 $r$ の関数として決定します。

$b$ と $c$ の脚を持つ直角三角形の斜辺に対する内部 角の二等分線 を求めます。

この本の解像度を参照してください

$x$ を斜辺に対する 角の二等分線 $\overline{AS}$ の測定値とします。 $S$ を通じて、脚の 1 つと平行に、たとえば $b$ と平行に、セグメント $\overline{SP}$ を描画します。三角形 $APS$ は長方形および二等辺三角形 ($A\hat SP = 45^{\circ}$) で、脚 $y$ があります。

三角形 $BAC$ と $BPS$ は相似です。それから：

$$\begin{cases} y^2 + y^2 = x^2 \\ \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{c - y} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \dfrac{x}{\sqrt{2}} \\ c\,y = bc - by \end{cases} \Rightarrow c\,\frac{x}{\sqrt{2}} = bc - b\,\frac{x}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}\,bc}{b + c}.$$

Num 二等辺三角形 $ABC$、$M$ は基底 $\overline{BC}$ 内の任意の点です。 $(AB)^2 - (AM)^2 = (MB) \cdot (MC)$を表示します。

二等辺三角形 の周囲を、三角形の合同な辺の 1 つの底辺に対する高さの投影 $a$ の関数として、およびこの高さ $h$ の関数として決定します。

正方形 $ABCD$ で、$AE = \dfrac{1}{4}AD$ などの $\overline{AD}$ の辺にある点 $E$ と、$\overline{AB}$ の中央の点 $O$ を取得します。 $\overline{OP}$は$\overline{CE}$に垂直なので、$P$は$\overline{CE}$を引き継いだ垂線の足ですので、$(OP)^2 = (EP) \cdot (CP)$を証明します。

三角形 $ABC$ と、その三角形の内部の 角の二等分線 $\overline{AD}$ と外部の $\overline{AE}$ を考えてみましょう。それを証明してください

直径$AB = 2r$の半円と、その半円の接線$\overrightarrow{AX}$と$\overrightarrow{BY}$があるとします。半円上の任意の点 $C$ の接線は、$D$ の $\overrightarrow{AX}$ および $E$ の $\overrightarrow{BY}$ と交わります。 $(CD) \cdot (CE) = r^2$を表示します。

次の場合に $\operatorname{sen}\alpha$ を決定します。

次の場合に $\cos\alpha$ を決定します。

次の場合に $\operatorname{tg}\alpha$ を取得します。

以下の場合の$x$の値を求めます。

以下の場合の$x$の値を求めます。

次の場合の $x$ と $y$ の値を決定します。 a) 長方形。 b) 平行四辺形。 c) 平行四辺形。 d) 長方形台形。 e) 二等辺台形。

以下の場合の$x$の値を求めます。

60°の角度の片側の点は、その角度の頂点から16 m です。角の向こう側はどのくらい離れていますか?

30°の角度の片側にある点は、もう一方の側から 6 m 離れています。この反対側のこの点の正投影から角度の頂点までの距離を決定します。

直角の内点$P$は角の辺から4m、8mです。 $P$とこの角の頂点の間の距離はいくらですか?

直角の内点は角の辺から4m、10mです。この角度の角の二等分線からこの点はどれくらい離れていますか?

ワンポイント $P$、直角の内側、はそれぞれ $\sqrt{2}$ 片側が m と 2 m、角の二等分線。間の距離を決定します $P$ そしてその角度の頂点。

角度 60° 内の点 $P$ は、その角度の辺から 6 m および 9 m 離れています。角度の$P$と角の二等分線の間の距離はいくらですか?

角度60°内の点$P$は、角度の辺から3mと6m離れています。 $P$ とこの角度の頂点の間の距離を決定します。

角度30°内の点$P$は、一辺から3m、角度の頂点から$3\sqrt{13}$m離れています。この点は角度の反対側にどれくらいありますか?

60°の角度の外側にある点 $P$ は、角度の辺から $9\sqrt{3}$ m および $3\sqrt{3}$ m 離れていますが、これらの距離はいずれも角度の頂点までではありません。角度の$P$と角の二等分線の間の距離はいくらですか?

直角三角形では、斜辺の二乗は脚の積の 2 倍になります。三角形の鋭角の 1 つを計算します。

辺が$a$の正方形$ABCD$の頂点$B$を介して、$\overline{BA}$と$S$が$\overline{AD}$にある30°に等しい角度を形成する正方形の内側のセグメント$\overline{BS}$が取られます。 $AS$と$BS$を求めます。

観察者は、平地に建てられた建物を 60° の角度で見ます。建物から 30 m 離れると、45° の角度で建物を見ることになります。建物の高さを計算します。

三角形 $ABC$ の辺 $\overline{AB}$ と $\overline{AC}$ は、それぞれ $a$ と $2a$ を測定し、それらによって形成される角度は 45° です。三角形の高さ $\overline{BD}$ と辺 $\overline{BC}$ の寸法を $a$ の関数として計算します。

長方形台形の底辺は $b$ と $2b$ で、角度の 1 つは 60° になります。高さを計算します。

二等辺台形の鋭角の 1 つは 60° になります。平行でない辺は台形の小さい底面と一致し、$m$ は大きい底面の寸法であるため、$m$ に関して台形の周囲長を決定します。

台形の高さは、その平均底辺に $\sqrt{3}$ を掛けたものに等しいことがわかっているので、等脚台形の対角線が台形の高さとなす角度を決定します。

二等辺台形の最大の底辺は 100 cm、最小の底辺は 60 cm です。 60° がそれぞれの鋭角の尺度であるため、台形の高さと周囲長を決定します。

$E$ が正方形 $ABCD$ の辺 $\overline{BC}$ の中点であることを認識して、$\operatorname{tg}\alpha$ を決定します。

半径60°、6 dmの扇形に内接する円の半径を求めます。

$AB = 3r$ が $A$ において中心 $O$ 、半径 $r$ の円に接するとします。 $C$を接点とする$B$を通る接線$\overline{BC}$を描きます。 $C$から直線$\overleftrightarrow{AB}$までの距離を計算します。

鋭角の尺度が $\alpha$ である直角三角形 $ABC$ を考えてみましょう。内接円の半径の測定値を $\alpha$ と斜辺 $a$ の関数として決定します。

平行四辺形の辺はそれぞれ 10 cm と 8 cm に等しい。その内角の 1 つが 120° に相当することがわかっているので、その内角の 角の二等分線 によって形成される凸四角形の周囲長を計算します。

図では正方形と 正三角形 があります。未知のものを特定します。