「BはAとCの間です。」 Euclid は、ほとんどすべてのデモンストレーションでこのアイデアを説明することなく使用しました。

発見者

「間の存在」を公理に変換した最初の人物は、ギーセン大学の教授であるドイツ人のモーリッツ・ パシュ (1843 – 1930) で、1882 の著書近代幾何学図書館の中で述べられています。彼以前にカール・フリードリヒ・ ガウス は、1832 からの手紙の中で、「間」のような言葉は幾何学の完全な解説で明確にする必要があるとすでに述べていました。 デヴィッド・ ヒルベルトは、1899 でパシュのアイデアを、いわゆる順序の公理に取り入れました。

モーリッツ・パッシュ。
モーリッツ・パッシュ。グスタフ・バックオーフェン · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
カール・フリードリヒ・ガウス。
カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
デヴィッド・ヒルベルト。
デヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

2,000 年間、この定義を見逃した人はいませんでした。図面によって解決されたからです。図を見て、どの点が真ん中にあるかを確認してください。この問題は、図形に依存しない証明が必要な場合に発生します。すべての三角形は二等辺であるなどの有名な「証明」がありますが、これらは正しいように見えますが、点が別の点の間違った側に描かれているために失敗するだけです。順序の公理は、この種の間違いを防ぎます。

パシュ氏は、その姿を見たことがない人にとっても、デモは有効であり続けるべきだと主張した。この要件により、幾何学の記述方法が変化し、ヒルベルトの研究への道が開かれました。

日常生活での応用

  • 行列 自分とレジ係の間に誰がいるのかを知ることで、残りの人数がわかります。
  • 地下鉄の駅 直線上で、駅 B が A と C の間にある場合、A から C に行く人は B を通過しなければなりません。
  • 高速道路のキロメートル。 km 120 は km 100 と km 150 の間にあります。ランドマークの順序によって、事故や出口を見つけることができます。
  • 進行状況バー。 動画のマーカーは常に最初と最後の間にあり、その位置は残りの量を示します。

出典: モーリッツ パッシュ (MacTutor) · ヒルベルト (MacTutor)。

理論と作図

公準間にある概念の仮定

$A$、$B$、$P$ の点が何であっても:

  1. $P$ が $A$ と $B$ の間にある場合、$A$、$B$、および $P$ は同一直線上にあります。
  2. $P$ が $A$ と $B$ の間にある場合、$A$、$B$、および $P$ は 2 つずつ異なります。
  3. $P$ が $A$ と $B$ の間にある場合、$A$ は $P$ と $B$ の間にはなく、$B$ も $A$ と $P$ の間にありません。
  4. $A$ が $B$ と異なる場合、$A$ と $B$ の間に点 $P$ が存在します。

最後の公準は興味深い結果をもたらします。$A$ と $P$ の間には別の点があり、その点と $A$ の間には別の点があり、というようになります。 2 つの異なる点の間には無限の点が存在します。