Euler's Eyes
2026-10-11
定義と要素
すべての点が中心から同じ距離にあります。円の定義は直線上に収まりますが、数値 π は隠されています。
発見者
円は、メソポタミア (紀元前 3500 年頃) の車輪から石碑に至るまで、人類の歴史の中で最も古い形の 1 つです。厳密な定義はユークリッドによるものです（原論の定義I.15からI.18）： 内部の点である中心からすべての点が同じ距離にある直線によって限定される図形。彼の 3 番目の公準は、任意の中心と任意の半径を持つ円を描くことが可能であることを保証します。輪郭と直径の比を最初に正確に計算したのはアルキメデス (紀元前 3 世紀) です。
歴史
すべての円は同じ形状を持ち、サイズのみが変わります。したがって、長さ$C$と直径$2R$の比率は常に同じであり、今日私たちがπと呼んでいる数です。バビロニア人は 3 または $3\tfrac{1}{8}$ を使用しました。ラインド・パピルスでは3,16に近い値が得られます。
アルキメデスは、一方が内接し、もう一方が外接している 96 辺を持つ多角形間の円を囲み、π が $3\tfrac{10}{71}$ と $3\tfrac{1}{7}$ の間にあると結論付けました。 π という記号はウェールズ人のウィリアム・ ジョーンズが1706で使用し、 そしてオイラーによって広められました。
日常生活での応用
- ホイール。 ホイールは、エッジ上のすべての点が軸から同じ距離にあるため、スムーズに回転します。
- マンホールの蓋 どの位置でも開口部から円が落ちないため、円形になっています。
- ピザと時計。 ピザのスライスは円形の扇形です。時計の針は文字盤を横切る光線です。
- コンパスと GPS。 ある地点からのアンテナまたは無線信号の到達範囲は円です。
出典: 要素、定義 I.15 · アルキメデス (MacTutor) · π の歴史 (MacTutor)。
理論と作図
定義周
円周 とは、平面上の特定の点 (中心) までの距離がゼロ以外の特定の距離 (半径) に等しい平面上の点の集合です。
$$\lambda(O, r) = \lbrace P \in \alpha \mid d_{P,O} = r \rbrace.$$点の位置 点$X$は、$d_{X,O} < r$の場合は円の内側にあり、$d_{X,O} = r$の場合は円に属し、$d_{X,O} > r$の場合は外側にあります。内部点の集合が内部です。外部の、 つまり外装のこと。
定義弦、直径、半径、円弧
- ロープは、円上に端があるセグメントです。 直径は中心を通る弦です。 半径 は、中心から円周上の点までの線分です。
- $A$ と $B$ が円上にあり、直径の端ではない場合、副円弧 $\overset{\frown}{AB}$ は、$A$、$B$、および角度 $A\hat{O}B$ の内側の円上の点によって形成されます。外側の大アーチ $\overset{\frown}{AXB}$。特に断りのない限り、「円弧$AB$」が最小となります。
- $A$と$B$が直径の端である場合、 それぞれの半分は半円になります。
定義円、扇形、セグメント、半円
- 円 (またはディスク) は、中心からの距離が半径、つまり円周とその内部を合わせたものと以下である平面上の点の集合です。
- 扇形 $AOB$ は、半径 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$ と角度 $A\hat{O}B$ の内側の円の点によって形成されます。
- 円線分 とは、直線$AB$上の原点半平面と円との交点(中心を含まない最小のもの)です。
- 半円とは、直径の直線上の原点半平面と円との交点です。