点、線、面はすべてのジオメトリを組み立てる要素であり、興味深いことに、それらには定義がありません。

発見者

点や直線を「発見」した人はいません。それらは、土地を測ったり、計画を描く習慣と同じくらい古い考え方です。それらを最初に定義しようとしたのは、紀元前300 年頃のアレクサンドリアのユークリッドで、原論の中で「点とは部分を持たないもの」「線は幅のない長さである」と書かれています。 2000 年以上後、1899 でドイツ人のデイヴィッド ヒルベルトは、点、線、 面を未定義のままにして、それらが相互にどのように関係しているかのみを記述するという、今日採用されている解決策を提案しました。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
デヴィッド・ヒルベルト。
デヴィッド・ヒルベルト。身元不明の写真家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

ユークリッドの定義は明確に見えますが、証明には役立ちません。点に「部分がない」と言っても、定理の証明に使用できることは何もわかりません。すべての定義には別の単語が使用されており、その単語も定義する必要があり、その連鎖は決して終わりません。どこかで立ち止まらなければなりません。

888 日付の要素の原稿のページ: MS の書籍 X の付録。ドールヴィル 301、フォリオ 268r、ボドリアン図書館。それは作品が伝わってきた証です。
888 日付の要素の原稿のページ: MS の書籍 X の付録。ドールヴィル 301、フォリオ 268r、ボドリアン図書館。それは作品が伝わってきた証です。ユークリッドの作品。中世の写本家。ボドリアン ライブラリ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン。

ヒルベルトは冒頭で立ち止まった。彼の著書幾何学の基礎では、点、直線、 平面は原始的な用語であり、重要なのは「1本の直線が2点を通過する」など、それらが従う規則であると述べています。彼はこのアイデアを、「点、線、面」を「テーブル、椅子、ビールジョッキ」と交換することが可能である、つまりルールが適用され続ける限り、定理は真実であると述べて要約したと言われている。

日常生活での応用

  • 地図と GPS。 アプリ内で住所を示すピンはドットです。これは大きさではなく位置を示します。
  • レーザー レベル。 レンガ職人が壁に投影した赤い線は直線を表します。タイルと棚を位置合わせするための基準です。
  • テーブルの天板と床。 平面は平面のモデルです。家具が「ぐらつく」のは、床が平面のように機能していないためです。
  • デジタル画面 画像は、行と列に編成された色の小さな点であるピクセルで構成されます。

出典: Euclid (MacTutor) · Hilbert (MacTutor) · 要素、定義 I.1。

理論と作図

幾何学的な概念（概念、用語、実体） は定義によって確立されます。ただし原始的な概念は定義なしで採用されています。

定義原始的な概念

ここでは点、直線、面の概念を定義せずに採用します。

私たちはこれらの実体について経験と観察から得た直観的な知識を持っています。鉛筆の先の跡は点を示唆し、しっかりと張られた糸は直線を示唆し、テーブルの上部は平面を示唆します。

点、線、面の表記

実在物 文字表記 例
ポイント ラテン文字大文字 $A, B, C, \ldots$
真っ直ぐ ラテン文字小文字 $a, b, c, \ldots$
フラット ギリシャ文字小文字 $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$

グラフィック表現では、点は小さなマークであり、直線は両方向に無限に伸びると想像される線であり、平面は通常、平行四辺形として表示されます。平面も無限であるため、これはその一部にすぎません。

点$P$、直線$r$、平面$\alpha$。