Euler's Eyes
2022-11-07
パーティションの設定
集合の分割は、特に確率論、レスベーグ積分などにおいて非常に重要な主題です。前回の投稿では同値関係を見てきましたが、それらは集合の分割の概念に直接関係しています。
定義
定義（パーティション） $A$ を空でない集合 ($A\neq \emptyset$) と、$A$ の空でない部分集合の族 $\mathcal{F}$ とします。 $A$ のパーティション定義は、次の条件が当てはまる場合に有効です。
- (a) $\mathcal{F}$ の任意の 2 つの要素が等しいか素である。
- (b) $\mathcal{F}$ の要素の和集合は $A.$ に等しい
例
例 1: ファミリ $\mathcal{F} = \\{ \\{1\\}, \\{2\\}, \\{3, 4\\} \\}$ はセット $A = \\{1, 2, 3, 4\\}.$ のパーティションです
例 2: $A=\mathbb{Z}$ とし、ファミリ $\mathcal{F} = \\{ 3\mathbb{Z}, 3\mathbb{Z} + 1, 3\mathbb{Z} + 2 \\}$ をセット $A.$ のパーティションとします。
例 3: $A=\mathbb{R}$ とし、ファミリ $\mathcal{F} = \\{ (-\infty,-1), [-1,1], (1,+\infty) \\}$ をセット $A.$ のパーティションとします。
次に、デデキング カットと実数 ($\mathbb{R}$) の構築を担当する Richard Dedekind です。
等価関係によりセットパーティションが決定される
以下に、同値関係がセットの分割をどのように決定するかを示す結果を示します。
定理（同値関係は集合の分割を決定する） $\mathcal{R}$ が空でない集合 $A$ 上の同値関係である場合、$A/\mathcal{R}$ は $A.$ の分割です。
デモ:
最初に、パーティション定義によって、$A/\mathcal{R}$ の各要素が空ではないこと、および定義のプロパティ (a) と (b) が成立することを示す必要があることに注意してください。
各 $\overline{a} \in A/\mathcal{R}$ について、$\mathcal{R}$ は再帰的であるため、$a \in \overline{a}.$ が得られます。したがって、$\overline{a}\neq \emptyset.$ が得られます。
- (a) $\overline{a}$、$\overline{b}$の各$A/\mathcal{R},$について $\overline{a} \cap \overline{b} = \emptyset$ または $\overline{a} = \overline{b}.$ があります
ここで、$\overline{a} \cap \overline{b} \neq \emptyset$ が $x \in \overline{a} \cap \overline{b}$ であるとします。次に$x \in \overline{a}$と$x \in \overline{b}$。
同値クラスの定義から、$x \mathcal{R} \overline{a}$ と $x \mathcal{R} \overline{b}$ が得られます。
$\mathcal{R}$ が対称かつ推移的であるという事実から、$a\mathcal{R} b.$
前回の定理の等価性から、(a) を示す $a = b,$ が得られます。
- (b) ここでの目的は、項目 (b) を表示することです。つまり、次のとおりです。
同様に:
$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} \subseteq A \quad \text{e} \quad \bigcup_{a \in A}\overline{a} \supseteq A $$内包物$\bigcup_{a \in A}\overline{a} \subseteq A$は$a \in A.$ごとに$a \subseteq A$と表示されます。
逆に、$x \in A,$ と $x\mathcal{R}x,$ を $x \in \overline{x},$ とすると、$\bigcup_{a \in A}\overline{a}$ が意味されます。
その結果:
$$\bigcup_{a \in A}\overline{a} \supseteq A $$$\square$
セットの分割により同値関係が決定される
以下に、セットの分割によって同値関係がどのように決定されるかを示す結果を示します。
定理 (集合の分割が同値関係を決定する) $A$ を空でない集合、$\mathcal{F}$ を $A,$ の分割とすると、 $A$ に対して $\mathcal{R}$ という等価関係があり、$A/\mathcal{R} = \mathcal{F}.$
デモ:
すべての $a, b \in A,$ について、次のように $\mathcal{R}$ を定義します。
$$a\mathcal{R} b \quad \Longrightarrow \quad \text{ existe } X \in \mathcal{F} \text{ tal que } a, b \in X.$$- (パート 1) $\mathcal{R}$ が同値関係であることを示し、これを 3 個の項目に分割します。
(1) $\bigcap \mathcal{F} = A,$ 以降のすべての $a \in A,$ に対して、$a \in X.$ となる $X \in \mathcal{F}$ が存在します。
したがって、$\mathcal{R}$ を表す $a\mathcal{R}a,$ は再帰的です。
(2) $a, b \in A,$ の場合、$a\mathcal{R}b,$ の場合、$\mathcal{R},$ の定義により、$a, b \in X,$ のような要素 $X \in \mathcal{F},$ が存在します。これは、$b\mathcal{R} a.$ を意味します。
したがって、$\mathcal{R}$は対称です。
(3) $a, b, c \in A $ が $a\mathcal{R} b$ および $b\mathcal{R} c$ である場合、$a, b \in X$ となる $X, Y \in \mathcal{F}$ があります。 と $b, c \in Y .$
したがって、$b \in X \cap Y$、つまり$X \cap Y \neq \emptyset.$となります。
$\mathcal{F}$ はパーティションなので、$X = Y$、$a, c \in X = Y $ があります。
したがって、$a\mathcal{R} c.$
- (パート 2) $A/\mathcal{R} = \mathcal{F}.$ を表示します。
$a \in A,$ が与えられると、$a \in X,$ のような一意の $X \in \mathcal{F},$ が存在することがわかります。この一意性は、$\mathcal{F}.$ に当てはまるプロパティ (a) から導き出されます。
$\mathcal{R}$ の定義から $\overline{a} = X,$ が得られ、これは $A/\mathcal{R} \subseteq \mathcal{F}.$ を意味します。
一方、$X 6\neq \emptyset,$ を持つすべての $X \in F,$ に対して、$a \in X.$ が存在することがわかります。
したがって、$A/\mathcal{R} \supseteq \mathcal{F}.$ を示す $X = \overline{a},$
$\square$
応用
例 4: $A = \\{a, b, c, d, e, f\\},$ のパーティション $\mathcal{F} = \\{\\{a, b\\}, \\{c\\}, \\{d, e, f\\}\\}$ を考えると、関連する等価関係が得られます。
$$\mathcal{R} = \\{(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(d, d),(d, e),(d, f),(e, d),(f, d),(e, e),(e, f), (f, e),(f, f)\\}.$$
以上が同値関係のまとめです。次の投稿をお待ちください。