Euler's Eyes
2026-10-11
原始的な命題
点、線、面が定義されていない場合は、誰かがゲームのルールを伝える必要があります。これらのルールは公準です。
発見者
理論を証拠なしに受け入れられたステートメントから始めるという考え方はギリシャ的です。 アリストテレス (紀元前 4 世紀) は、すべての実証科学に初期原理が必要な理由をすでに議論し、ユークリッドはこれを 原論 で実践し、5 つの公準で作業を開始します。最初の公準では、ある点から別の点まで直線を引くことが可能であると述べています。 1899 ではデイヴィッド・ ヒルベルト が、ユークリッドが明言せずに使用した規則を含む、約 20 個の公理を含むリストを完成させました。
歴史
ユークリッドの方法は 20 世紀以上にわたって成功を収めてきました。すべての 原論 定理は、以前の公準または定理から推定されます。それが、この著作が 20 世紀まで教科書として使用され、他の分野のモデルとなった理由です。ニュートンはプリンキピアを組織し、スピノザは彼の倫理学を「幾何学者のやり方で」書きました。
19 世紀に数学者は、原論 の証明の一部は公準に含まれず、図面で「見られた」事実に依存していることに気づきました。ヒルベルトはすべてをグループ (発生、順序、一致、平行、連続) に再編成しました。そしてこの章の公準 (存在、決定、包含) は彼の発生公理のバージョンです。
日常生活での応用
- 三脚テーブルはぐらつきません。 同一線上にない 3 つの点によって平面が決まります。これが、カメラの三脚や搾乳台がどんな床にもしっかりと立つ理由です。
- メイソンの線。 壁の位置を示すには、2 本の釘と張った紐で十分です。2 つの点で直線が決まります。
- ゲームのルール。 ビショップが斜めに動くことは誰も証明しません。それはチェスのルールです。公準も同様に機能します。公準は受け入れられたルールであり、残りは結果です。
出典: ユークリッド (MacTutor) · 要素、公準 1 · ヒルベルト (MacTutor)。
理論と作図
幾何学的な命題（性質、ステートメント） は実証によって受け入れられます。 原始命題 —公準または公理と呼ばれるもの — は証明なしで受け入れられます。
点、直線、平面を関連付けるいくつかの仮定から平面幾何学を開始します。
公準存在仮説
- 直線上にも直線の外側にも点は無限にあります。
- 平面には無限の点があります。
「無限ポイント」という表現は、「必要なだけのポイント」を意味します。
点が直線上にあるかどうかを示すために、$\in$ (属する) および $\notin$ (属さない) という記号を使用します。以下の図では、$A$、$B$、および $P$ は $r$ 内にあります。 $R$、$S$、および $M$ は次のとおりではありません。
$$A \in r,\quad B \in r,\quad P \in r \qquad\text{e}\qquad R \notin r,\quad S \notin r,\quad M \notin r.$$2 点位置および点と線の位置
2 つの点 $A$ と $B$ が与えられた場合、 可能性は 2 つだけです。 それらは一致するか（$A = B$：2 つの名前を持つ単一の点です）、 または別個の点（$A \neq B$）のどちらかです。
点$P$と直線$r$があった場合、$P$ が$r$ にあるか（$P \in r$、直線は$P$を通過します）、または$P$ が$r$ に存在しない（$P \notin r$）かの2つの可能性もあります。
定義同一線上の点
同一直線上にある点とは、同じ直線に属する点のことです。
下図の$P$点をドラッグします。直線上にある場合、$A$、$B$、$P$は同一直線上にあります。その外側では、3 つの点によって平面 (次の公準の主題) が決定されます。
公準決定の仮定
a) 直線。 2 つの異なる点が、それらを通過する 1 つの直線を決定します。
$$A \neq B,\ A \in r,\ B \in r \ \Longrightarrow\ r = \overleftrightarrow{AB}$$b) 平面から。 同一直線上にない 3 つの点が、それらの点を通過する 1 つの平面を決定します。この計画を$(A, B, C)$で示します。
「一致する 2 つの直線」という表現は、「1 つの直線」と同等です。そのため、この公準では、「2 つの直線に 2 つの異なる共通点がある場合、それらは一致する」とも述べられています。
次の図は、この仮説の実験室です。グリッドをクリックして点を作成し、それらによって決定される個別の線の数を確認します。 $n$ 点の場合、3 つの共線がない場合、点の各ペアは異なる直線を与えます。これらは $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 直線です。 3 つ以上の点が揃うと 1 つの直線となり、合計が減少します。
公準包含仮説
直線が平面内に 2 つの異なる点を持つ場合、その直線はその平面内に含まれます。
$$A \neq B,\ r = \overleftrightarrow{AB},\ A \in \alpha,\ B \in \alpha \ \Longrightarrow\ r \subset \alpha$$定義同一平面上の点と図形
- 同一平面上にある点 とは、同じ平面に属する点のことです。
- 図形 は任意の点の集合です。
- 平面図形とは、すべての点が同一平面上にある図形です。
平面幾何学では平面図形を研究します。