Euler's Eyes
2026-10-14
ナッシュ交渉解
古典的な経済問題に新しい扱いを与える。この問題は交渉や双方独占など、さまざまな形で現れる。
— ジョン・ナッシュ「交渉問題」（1950）
1948 年、まだカーネギー工科大学の学部生だったナッシュは、国際経済学の授業を受けました。彼が生涯で受けた唯一の経済学の授業です。そこから一つの問いを持ち帰りました。二人が交渉するとき、合意から生まれる利益をどう分けるのか。経済学者たちは、答えは双方の心理や手腕やはったりしだいで、一般には何も言えないと考えていました。ナッシュは、合意がいくつかのもっともな要請を満たさなければならないなら、ありうる答えは一つしかないことを示しました。論文はプリンストンに来る前に書かれ、1950 年に雑誌『エコノメトリカ』（Econometrica）に発表されました。
問題
二人、1 と 2 が合意を結べるとします。ありうる合意はそれぞれ、各自に効用で測った利得 $u_1$、$u_2$ をもたらします。合意しなければ、各自は元からもっていたものを保ちます。これが決裂点 $(d_1,d_2)$ です。合意に意味があるのは、各自に少なくとも合意しない場合と同じだけを与えるときだけです。
四つの要請
ナッシュは解に四つの性質を求めました。
- 効率性。 二人にとって同時によりよい別の合意があってはならない。
- 対称性。 状況が対称で、二人の可能性も決裂点も同じなら、二人の取り分は等しい。
- 不変性。 ある人の効用を別の尺度で測っても、セ氏をカ氏に換えるように、解は変わらない。
- 無関係な選択肢からの独立性。 ある問題の解がより小さな問題でも可能なら、それはやはり解である。だれも選ばない選択肢を取り除いても、合意は変わらない。
ナッシュの定理によれば、四つの性質をすべてもつ規則はただ一つです。決裂点からの利得の積
$$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$を最大にする合意を選ぶことです。
1000 円を分ける
二人が 1000 円を分けます。単位を 100 円として、合計を 10 としましょう。合意できなければ、だれも何も得られません：$d=(0,0)$。簡単のため、効用はお金そのものとします。1 が $x$ を受け取れば、2 は $10-x$ を受け取り、積は
$$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大は $x=5$ です。それぞれ 5、つまり 500 円ずつ。対称な場合なので、驚くことではありません。
よい代わりの選択肢をもつ人が多くを得る
今度は 1 に代わりの選択肢があるとします。合意できなくても、よそで 4 を得られ、2 は相変わらず何も得られません。決裂点は $(4,0)$ です。決裂点からの利得は $x-4$ と $10-x$ で、積は
$$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$
最大は $x=7$ です。1 が 7、2 が 3 を受け取ります。どちらも合意しない場合より3 多く得ています。ナッシュ解は余剰を等分します。余剰とは、各自がすでに確保していた分を超えて合意が生み出す価値です。だから、よい代わりの選択肢をもつ人は多くを得るのです。それはただでもらえるものではなく、交渉の出発点なのです。
効用が違うときの計算
お金の価値は二人にとっていつも同じとはかぎりません。2 のほうが貧しく、$y$ の効用が $\sqrt y$ だとしましょう。最初のお金はとても価値があり、その先はしだいに価値が下がります。決裂点を $(0,0)$ として、$x\sqrt{10-x}$ を最大にします。微分して
$$\sqrt{10-x}-\frac{x}{2\sqrt{10-x}}=0\quad\Longrightarrow\quad2(10-x)=x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{20}3\approx6.67.$$1 は 6.67、2 は 3.33 を受け取ります。お金の一単位一単位がより切実なために、どんな合意でも早くほしい人のほうが、少なく受け取ることになります。ナッシュの数学は、それが公正かどうかは言いません。四つの要請から何が導かれるかを言うのです。
練習問題：合計 12、決裂点 (2, 0)、効用がお金に等しいとき、ナッシュの分け方は何か。
$(x-2)(12-x)=-x^2+14x-24=25-(x-7)^2$ を最大にします。最大は $x=7$ で、分け方は (7, 5) です。余剰は $12-2=10$ で、各自が決裂点より 5 多く得ます。
練習問題：効用がお金に等しく、合計 T、決裂点 (d₁, d₂) のとき、1 は d₁ + (T − d₁ − d₂)/2 を受け取ることを示せ。
積は $(x-d_1)(T-x-d_2)$ です。これは $x$ の放物線で、根は $x=d_1$ と $x=T-d_2$、最大はその中点にあります：$x=\frac{d_1+T-d_2}2=d_1+\frac{T-d_1-d_2}2$。各自が自分の決裂点の利得に、余剰 $T-d_1-d_2$ の半分を加えたものを受け取ります。
出典： John F. Nash、“The bargaining problem”、Econometrica 18（1950）· Ken Binmore、Game Theory: A Very Short Introduction（Oxford、2007）· 1994 年ノーベル経済学賞、ノーベル財団。