長方形の面積を求めるのは簡単です。底辺かける高さ。三角形もそうです。その半分です。困るのは、図形が曲がっているときです。円を小さな正方形でしきつめようとしても、どうしてもはみ出すか足りない部分が出ます。二千年にわたって、数学者たちはこの問題に同じ考えで立ち向かいました。曲線を、どんどん小さくなるまっすぐな図形で近似するのです。変わったのは、その考えを書く方法でした。

かこいこまれた円とアルキメデス

紀元前 250 年ごろ、シラクサで、アルキメデスは円の内側に六角形を、外側にもう一つの六角形をかきました。円周の長さは二つの六角形の周の長さのあいだにあります。それから辺の数を倍にしていきました。$12$、$24$、$48$、$96$。96 角形で、彼は次の結果にたどりつきます。

$$3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17,$$

つまり $3.1408\ldots<\pi<3.1428\ldots$ です。17 世紀の数学者たちが取りつくし法と呼んだこの方法は、曲がった図形とまっすぐな図形のちがいを「取りつくし」ます。「極限」という言葉より二千年も前の、極限の考えです。けれどもアルキメデスには、それを書く方法がありませんでした。問題ごとに、文と図で書かれた新しい議論が必要で、無限への移行は二重の背理法によって避けられていたのです。

数に名前を

何世紀ものあいだ、円周と直径の比には記号がなく、「直径にかけると円周になる量」と言葉で説明されていました。1706 年、ウェールズの教師ウィリアム・ジョーンズは、ギリシア語 periphéreia（周、まわり）の頭文字 $\pi$ を使いました。オイラーが自分の本でこの文字を採用し、それが標準になりました。名前を得たことで、この数の立場は変わりました。二つの長さの関係ではなくなり、たしたり、2 乗したり、$A=\pi r^2$ のような式の中に入れたりできる対象になったのです。

ケプラーとワイン樽

1613 年、ヨハネス・ケプラーは二度目の結婚をし、祝宴のためにワインを買いました。商人は樽の口から反対側の角まで棒をさしこみ、ぬれた長さを読んで樽の容積を測っていました。すでに惑星の運動の法則を発見していたケプラーは、この方法をあやしいと思いました。形のちがう樽が、同じ対角線で、ちがう容積をもつこともありうるからです。1615 年、彼は『ワイン樽の新しい立体測定』（Nova stereometria doliorum vinariorum）を出版し、樽をごく薄い切り身に切って、その体積をたし合わせました。

二十年後、イタリアのボナヴェントゥーラ・カヴァリエーリは、この考えを不可分者として体系化しました。平面図形は無限に多くの線でできていて、立体は無限に多くの面でできている、というのです。強力で、危険な考えでした。厚さゼロのものを無限にたし合わせると、何になるのでしょうか。

積分になる和

答えはライプニッツとともにやってきました。それは何よりもまず、書き方による答えでした。$a$ と $b$ のあいだで、曲線 $y=f(x)$ の下の領域を、幅 $\Delta x$ の $n$ 個の長方形に切ります。面積はおよそ

$$A\approx f(x_1)\,\Delta x+f(x_2)\,\Delta x+\cdots+f(x_n)\,\Delta x=\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

長方形が細いほど、近似はよくなります。極限で、幅が $0$ に近づくとき、和は

$$A=\int_a^b f(x)\,dx$$

になります。二つの式を並べてみてください。構造は同じです。和の記号、高さ $f$、幅。変わるのは文字です。「和」（sum）の S にあたるギリシア文字 $\Sigma$ が、ラテン文字の $\int$、引きのばされたもう一つの S になります。「差」（difference）の D にあたるギリシア文字 $\Delta$ が、ラテン文字の $d$ になります。ギリシア文字は有限を、ラテン文字は無限に小さいものを示し、一方の世界から他方への移行が、アルファベットの交代そのものに描かれているのです。このサイトの以前の記事は、これを mirabilis abbreviatio と呼んでいました。積分の書き方は、自分がどこから来たかを覚えているのです。$\int f(x)\,dx$ を見る人には、高さ $f(x)$、幅 $dx$ の長方形がまだ見えます。

この移行の厳密さがやってきたのは 19 世紀になってからです。オーギュスタン・コーシーは 1823 年に、ベルンハルト・リーマンは 1854 年に、積分をこうした和の極限として定義しました。今ではこの和はリーマン和と呼ばれています。1675 年のライプニッツの記法は変わる必要がありませんでした。理論がそれを正当化する方法を知る前から、正しい形をしていたのです。

練習問題：積分で三角形の面積を求める

このサイトの以前の記事はこう問いかけていました。三角形の面積はなぜ $\frac{B\cdot H}2$ なのか。三角形を、一つの頂点が原点に、底辺 $B$ が $x$ 軸上に、向かいの頂点が $(B,H)$ にくるように置きます。斜めの辺は直線 $y=\frac HB x$ です。すると

$$A=\int_0^B \frac HB\,x\,dx=\frac HB\cdot\frac{B^2}2=\frac{B\cdot H}2.$$

覚えさせられた公式が、計算の結果になります。

練習問題：手でリーマン和を計算する

幅 $\frac14$ の長方形 $4$ 個で、それぞれ右端の高さを使って $\int_0^1 x^2\,dx$ を近似します。

$$\frac14\left[\left(\tfrac14\right)^2+\left(\tfrac24\right)^2+\left(\tfrac34\right)^2+\left(\tfrac44\right)^2\right]=\frac14\cdot\frac{1+4+9+16}{16}=\frac{30}{64}\approx0.469.$$

正確な値は $\frac13\approx0.333$ です。長方形を細くすると、和は $\frac13$ に近づきます。$100$ 個の長方形なら約 $0.338$ です。

出典： アルキメデス『円の測定』· Florian Cajori, A History of Mathematical Notations · Johannes Kepler, MacTutor · Bonaventura Cavalieri, MacTutor。

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