Euler's Eyes
2022-11-01
集合を使った演算
数論や算術では、加算、減算、乗算、除算などの演算を使用できます。集合論では、演算は和集合、積集合、差分です。それらの一部は前の投稿で定義されています。この投稿では、セット間の演算の結果について説明します。
セット間の違い
まず、セットの違いについて説明します。これを行うには、次の定義に従います。
定義 (集合の差): A と B を 2 つの集合とし、集合 $A$ と $B,$ の差を表します。 $A \setminus B$ または $A−B,$ によるセットは、$A$ にあり、$B.$ にはない要素によって形成されます。象徴的に次のように書きます。
$$A - B = \\{x; \quad x \in A \wedge x \notin B\\}.$$
$A \subseteq B,$ の場合、集合 $B − A$ は B における A の補数とも言われ、 $A^c_B$で表されます。 $A$ がユニバースセット $U,$ に含まれている場合、その補数は $U$の$A$を単に と表記します。
$$A^c = \\{x;\quad x \notin A \\}.$$セット間の演算のプロパティ
定理 1 A、B、C を集合とする。それから：
- (a) 協会:
- $A \cup(B \cup C) = (A \cup B)\cup C$
- $A \cap(B \cap C) = (A \cap B)\cap C.$
- (b) 可換性:
- $A \cup B = B \cup A$
- $A \cap B = B \cap A.$
- (c) 分配率:
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).$
- (d) 冪等性:
- $A \cup A = A$
- $A \cap A = A.$
- (e) 相違点:
- $A − B \subseteq A$
- $(A − B) \cap B = \emptyset.$
- (f) 差分 1:
- $A − B = \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B$
- $A − (A − B) = B \quad \Leftrightarrow \quad B \subseteq A .$
$A$ と $B$ が同じユニバース セット U のサブセットである場合、次のようになります。
- (g) モルガンの法則
- $(A \cup B)^c= A^c \cap B^c$
- $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c.$
- (h) 追加:
- $(A^c)^c = A$
- $A \cap A^c = \emptyset.$
- (i) $B^c \subseteq A^c.$ の場合およびその場合に限り、$A \subseteq B$
デモンストレーション: 演習
パワーまたはセットの一部
べき乗または集合の一部では、次の公理が必要です。
べき乗の公理: 各セットには、次のセットのコレクションがあります。 要素には、指定されたセットのすべてのサブセットが含まれます。
このようにして、次のように定義します。
定義2（部品または電力の集合） Aを集合とする。 $A$ のパワー セットまたは $\mathcal{P}(A),$ で示される $A,$ の部分は、要素が $A.$ のサブセットである集合です。 象徴的には、$\mathcal{P}(A) = \\{B; B \subseteq A \\}.$ があります。
当事者の共同例
$A = \\{a, b, c \\},$ については、
$$\mathcal{P}(A) = \\{\emptyset, \\{a\\}, \\{b\\}, \\{c\\}, \\{a, b \\}, \\{a, c \\}, \\{b, c \\}, A \\}.$$
権力への提案
AとBを集合とする。それから：
- (a) $\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B).$
- (b) $\mathcal{P}(A \cup B) \supseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B).$
デモ:
(a) 次の等価性があります:
定義により、次のようになります。
$$X \in \mathcal{P}(A \cap B) \quad \Longleftrightarrow \quad X \subseteq A \cap B$$定理 1 より:
$$X \subseteq A \cap B \quad \Longleftrightarrow \quad X \subseteq A \wedge X \subseteq B$$定義により、次のようになります。
$$X \subseteq A \wedge X \subseteq B \quad \Longleftrightarrow \quad X \in \mathcal{P}(A) \wedge X \in \mathcal{P}(B)$$交差 $\cap$ の定義により、次のようになります。
$$X \in \mathcal{P}(A) \wedge X \in \mathcal{P}(B) \quad \Longleftrightarrow \quad X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$$これは項目 (a) を示しています。
項目 (b) の証明は演習として残ります。
$\square$
$\mathcal{P}(A ∪ B) \subseteq \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)$ を含めることは真ではないことに注意してください。次の反例は、この事実を示しています。
実際、$A = \\{1\\}$ と $B = \\{2\\},$ については、
$$\mathcal{P}(A \cup B) = \mathcal{P}(\\{1, 2\\}) = \\{\emptyset, \\{1\\}, \\{2\\}, \\{1, 2\\}\\}$$e
$$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \\{\emptyset, \\{1\\}\\} \cup \\{\emptyset, \\{2\\}\\} = \\{\emptyset, \\{1\\}, \\{2\\}\\}.$$ユニオン公理
有限数の集合の和集合を定義するには、仕様公理を使用できます。セットのコレクションでは、もはや この公理を使用して和集合と積集合を構築することができます。
和集合の公理: セットの各コレクションには、指定されたコレクションのあるセットに属するすべての要素を含むセットが存在します。
言い換えれば、この公理は、集合 $\mathcal{C},$ のすべてのコレクションに対して集合 $U$ が存在し、$\mathcal{C},$ 内の一部の $A$ に対して $x \in A$ が存在する場合は $x \in U.$ となることを保証します。 したがって、次のように定義できます。
定義（集合の和集合） $\mathcal{C}$ を集合の集合とする。 $\mathcal{C}$ のセットの和集合、または $\mathcal{C}$ の要素の和集合。次のように表されます。
$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A$$または
$$\bigcup \mathcal{C}$$コレクションの少なくとも 1 つのセットに属するすべての要素で構成されます。 まだ
$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A = \\{x \in A;\quad A \in \mathcal{C}\\}.$$
この定義では共用体公理と仕様公理を使用していることに注意してください。 ～の存在を保証するために
$$ \bigcup_{A\in \mathcal{C} } A$$一意性は拡張公理によって保証されます。 書くこともできます
$$\bigcup_{A\in \mathcal{C} } A = \\{x; \exists A \in \mathcal{C}~ \text{ tal que } x \in A \\}$$交差の公理
コレクション内のセットの共通部分については、次のようになります。
定義 (交差の公理) $\mathcal{C}$ を集合の集合とするとき、集合の交差といいます。 $\mathcal{C}$ 、または で示される $\mathcal{C},$ の要素の交差 $\bigcap_{A \in \mathcal{C} } A$ または $\bigcap \mathcal{C}$。これらはすべて、コレクション内のすべてのセットに属する要素です。
$$\bigcap_{A \in \mathcal{C} } A = \\{x; ~ x \in A \text{ para todo } A \in \mathcal{C} \\}. $$書くこともできます
$$\bigcap \mathcal{C} = \\{x; (A \in \mathcal{C} \rightarrow x \in A) \\}.$$
これが集合演算の概要です。次の投稿をお待ちください。