Euler's Eyes
2026-10-11
積の法則：一つの計算に二つの変化
$u$ がどう変わり、$v$ がどう変わるかわかっているとき、積 $uv$ はどう変わるでしょうか。自然な予想は変化同士を掛けること、$d(uv)=du\cdot dv$ です。なんとも対称的で、エレガントに見えます……
ライプニッツも同じ予想をしました。
ライプニッツの検証と失敗
文字 $d$ を使い始めた 1675 年 11 月 11 日の同じ手稿で、ライプニッツは自問しました。$d(xy)$ は $dx\,dy$ と等しいのか、$d\!\left(\frac xy\right)$ は $\dfrac{dx}{dy}$ と等しいのか。彼はエレガントさを信じるかわりに、例を使って確かめ、成り立たないことを見つけました。数日後、彼は正しい法則を見つけました。
これは大切な教訓です。微積分の発明者でさえまちがえ、彼らを救ったのは検算でした。
自分でも試してみましょう。$u=x$、$v=x$ とすると積は $x^2$ で、その導関数は $2x$。ところが導関数同士の積は $1\cdot1=1$。合いません。
大きくなる長方形
$u$ と $v$ を長方形の 2 辺、$uv$ をその面積と考えましょう。2 辺をほんの少しずつ増やします。$u$ は $u+du$ に、$v$ は $v+dv$ になります。
新しい面積は $(u+du)(v+dv)$ です。どれだけ増えたでしょうか。
$$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$幾何学的には、長方形は三つの部分を得ました。面積 $v\,du$ の細長い帯、面積 $u\,dv$ のもう一本の細長い帯、そして角にある面積 $du\,dv$ の小さな正方形です。
小さな正方形は二つの無限小の量の積なので、帯に比べて無限に小さい。ライプニッツはそれを無視して、
$$d(uv)=u\,dv+v\,du$$を得ました。予想の $du\,dv$ は、まさにどうでもいい部分だったのです。
極限を使った書き方
今日では $p(x)=f(x)\,g(x)$ と書き、増加分を増分 $h\ne0$ で割ります。
$$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$$h\to0$ のとき、最初の 2 項はそれぞれ $gf'$ と $fg'$ に近づきます。最後の項はゼロに近づきます。$\dfrac{\Delta f}{h}$ は決まった数 $f'$ に近づき、$\Delta g$ はゼロに近づくからです。したがって
$$(fg)'=f'g+fg'.$$例
$f=x^2$、$g=x+1$ とすると、
$$(fg)'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$別の方法で確かめましょう。$x^2(x+1)=x^3+x^2$ で、その導関数は $3x^2+2x$。$x=1$ では積は $2$、導関数は $5$ です。$f'g$ の項が $4$、$fg'$ の項が $1$ を担っています。
f(x) = x²; g(x) = x + 1; p(x) = f(x)g(x).
ライプニッツの法則
ライプニッツはさらに進んで、積を何回も微分する方法を見つけました。2 階導関数は
$$(uv)''=u''v+2u'v'+uv''.$$係数 $1,2,1$ は $(a+b)^2$ と同じです。3 階導関数では $(a+b)^3$ と同じ $1,3,3,1$ が現れます。一般に、係数は二項係数、つまりパスカルの三角形の数です。この公式は今でもライプニッツの法則と呼ばれています。
練習：x(x² + 1) を微分せよ
$f=x$、$g=x^2+1$ とすると、$(fg)'=1\cdot(x^2+1)+x\cdot2x=3x^2+1$。先に展開した $x^3+x$ も同じ導関数をもちます。
練習：長方形の辺が u = 3 cm、v = 5 cm である。u が 0.1 cm、v が 0.2 cm 増えると、面積はどれだけ増えるか？
法則より $d(uv)\approx v\,du+u\,dv=5\cdot0.1+3\cdot0.2=1.1$ cm²。正確な値は $3.1\cdot5.2-15=1.12$ で、差の $0.02$ は小さな正方形 $du\,dv=0.1\cdot0.2$ です。
資料： ライプニッツと微積分、MacTutor。