Euler's Eyes
2026-10-11
角度:定義
同じ原点を持つ 2 つの光線は角度を形成します。そして、角度に関する第一定理には発見者の名前さえあります。
発見者
ロードス島のエウデモスの幾何学の歴史を引用したプロクロス (西暦5世紀) によると、 頂点の反対側の角度が次の角度であることを最初に認識したのはミレトスのタレス** (紀元前624年～546年頃) でした。等しい**;ユークリッドは、命題 I.15 において、それを「科学的に」証明したのです。 「二直線の傾き」としての角度の定義はユークリッドの原論にあります（定義I.8）。
歴史
結局、角度とは何でしょうか？プロクロスは、 古代人がそれが量 (測定されるもの) なのか、質 (形のようなもの) なのか、あるいは 2 つの線の間の関係なのかを議論したと記録しています。現代の定義ではこの議論は避けられています。角度とは、同じ原点の 2 本の光線によって形成される図形です。
タレスへの帰属は彼の何世紀も後に生きた著者によるものであり、タレス自身によるテキストはありません。たとえそうであっても、これは貴重である。ギリシャ人がすでにその中に、事実が正当化される必要がある幾何学の始まりを見ていたことを示している。
日常生活での応用
- ハサミとペンチ 刃を開くとき、ハンドルは頂点と反対の角度で同じ角度で開きます。
- 時計の針。 3 h では直角を形成します。 6 h では浅い角度です。
- ドアの開き方 ショックアブソーバー付きのドアは、壁に当たらないように一定の角度まで開きます。
- 視野: 携帯電話のカメラは、見える角度を通知します。 「広角」ではさらに広範囲をカバーします。
出典: テイルズ (MacTutor) · 要素、命題 I.15 · 要素、定義 I.8。
理論と作図
定義角度
角度 は、同じ直線に含まれない（同一直線上にない）、同じ原点を持つ 2 本の光線の交わる角度です。
$$A\hat{O}B = \overrightarrow{OA} \cup \overrightarrow{OB}$$点$O$ は角度の頂点で、光線$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$ は辺です。 $a$と$b$が辺の場合は、$a\hat{O}b$または単に$\widehat{ab}$とも書きます。
定義屋内と屋外
- $A\hat{O}B$ の内部は、$OA$ 線上に原点があり $B$ を含む $\alpha_1$ と、$OB$ 線上に原点があり $A$ を含む $\beta_1$ の 2 つの開いた半平面の交点です。角の内側は凸面になっています。
- 角とその内側が交わる部分が扇形です（「凸角」ともいいます）。
- $A\hat{O}B$ の外側は、角度にも内側にも属さない点の集合であり、$\alpha_1$ と $\beta_1$ の反対側にある開いた半平面の会合です。外観は凹面になっています。
下の図は分度器の角度です。 $B$ をドラッグして、内側、外側、隣接する補足を切り替えます (セクション IV を参照)。
連続、隣接、および頂点の反対側の角度
定義連続および隣接
- 2 つの角度が連続であるのは、一方の側面がもう一方の側面でもある場合に限ります。
- 2 つの連続する角度は、共通の内部点がない場合にのみ隣接します。
定義頂点による反対 (o.p.v.)
2 つの角度は、一方の側面が他方の側面と反対の光線である場合にのみ頂点が対向します。
2 つの競合する線は、頂点に対向する 2 つの角度のペアを決定します。