Euler's Eyes
2026-09-26
OBMEP 2023 – 第 2 フェーズ – レベル 2: 完全解決
公式資料: 完全な証拠 · OBMEP ソリューション · 年間コレクション。
以下の決議は、公式ノートブックの番号に従っています。テストを開いて、ステートメント、代替案、図に従ってください。ここでの説明には著作権があります。答えを確認する前に、各質問に答えてください。
質問 1 — カードとマルチプル
a) 1 つの可能性は $6,2,4,8,1,9,3$ です。ペアを確認すると、すべてのペアで割り切れます: 6 と 2、4 と 2、8 と 4、8 と 1、9 と 1、および 9 と 3。
b) 8 枚のカード: $9,3,6,2,4,8,1,5$。繰り返される番号はなく、隣接する各ペアはルールを満たします。
c) $5,1,7$ またはその逆の順序を使用します。利用可能なカードのうち、5 のネイバーになれるのは 1 だけ、7 のネイバーになれるのは 1 だけです。
d) 9 枚のカードを使用する場合、5 と 7 が端にあり、両方とも 1 に接続されている必要があります。しかし、これはセクション全体 $5,1,7$ を形成し、別のカードを接続する可能性はありません。1 にはすでに 2 つの隣接カードが存在します。したがって、9 に順序はありません。
質問 2 — 等しい桁の加算
各分割払いを $111a$ と $1\le a\le9$ で記述します。したがって、3 つの異なる数字の合計を昇順で操作するだけです。
a) $1332=111\cdot12$ として、$3+4+5=12$: $333+444+555=1332$ を選択できます。
b) $2109=111\cdot19$ として、$a c) $s=a+b+c$、$6\le s\le24$ であること。 1の位から10の位への桁上げは$u=\lfloor s/10\rfloor$です。次のトランスポートは $v=\lfloor(s+u)/10\rfloor$ です。十の位と百の位は、10 を法とした $s+u$ と $s+v$ から来ています。 $s=6,\ldots,9$ には $u=v=0$ があります。 $10\le s\le18$、$u=v=1$の場合; $20\le s\le24$、$u=v=2$まで。唯一の例外は $s=19$ と $u=1$ および $v=2$ です。対応する結果は**$111\cdot19=2109$**です。 a) 部屋の面積は $7\times7$ で、2 枚の敷物の面積はそれぞれ 14 です。その交差点の測定値は $2\times2=4$ です。包含排他により、 発見された領域は**$49-(14+14-4)=25\text{ m}^2$**となります。 b) 2 番目の配置では、マットに共通の MN 対角線を使用します。各マットを面積 7 の 2 つの三角形に分割します。マットは合同であるため、マットの頂点から MN までの距離は等しくなります。この距離が$h$なら$MN\cdot h/2=7$。同じベース MN と高さ $h$ を持つ部屋の 2 つの半分と比較します。各半分の面積は $MN\cdot h=14$ です。つまり、 部屋には**$28\text{ m}^2$** があります。 c) 重なっている部分を$I$で表します。マットの結合部分には$14+14-I=28-I$のエリアがあります。部屋の寸法が 28 であるため、その覆われていない部分の寸法は $28-(28-I)=I$ になります。したがって覆われていない領域と重なっている領域は等しいことになります。 黒の場合は P、白の場合は B と書きます。単語は円を描いて読まれ、転回と反転が識別されます。 a) 2 つのクラスは PPBB と PBPB です。黒は一緒にまたは別々に黒です。 b) クラスは3 つあり、PPPBBB、PPBPBB、PBPBPB で表されます。連続する黒の最大数 (3 つ、2 つ、または 1 つ) によって分類します。 c) 4 つの白いものを固定し、4 つの間隔内の黒の量を記録します。スピンと反射を除けば、あらゆる可能性が考えられます。
ソートは 4 のパーティションから行われます。4 つが一緒です。 3 つと 1 つが隣接または反対の間隔にあります。 2 つのペア、隣接または反対のペア。 1 つのペアと 2 つの孤立したペア。空の間隔はペアの隣または反対側にあります。またはすべて個別に。つまりブレスレットは8 つになります。 両方のルールを使用します。5 を追加すると色が保持されます。白色製品には少なくとも 1 つの白色因子が必要です。 a) $38-3=35$ は 5 の倍数です。 5から5まで7回遡ると3 が白であると結論付けられます。 b) $4=2\cdot2$ が白の場合、因子 2 の 1 つは白でなければなりません。同じなので2 は白です。 c) 1 が白の場合、最初のルールにより、16 も白になります。 b と同様の論拠により、$16=4^2$ として4 は白となります。 d) 2 つの意味を示しましょう。 3が白であれば、8も白になります。 $8=2\cdot4$ では、2 が直接白になるか、4 が白になり項目 b が 2 を強制的に白になります。逆に、2 が白であれば、12 も白になります。 $12=3\cdot4$では、3が白、または4が白になります。最後のケースでは、9 は 4 と 5 が異なり、$9=3^2$ により 3 が白になります。したがって2 は、3 が白である場合にのみ白になります。それ以外の場合は両方とも黒になります。 以下の表では、各文字は 3 つの正方形のピースを表します。一致する文字は L を形成します。行を上から下に、列を左から右に読んでください。 a) 最初の 5 つの部分 A ～ E に関する完全な範囲は次のとおりです。 12 個のピースがあり、それぞれに 3 つのスペースがあり、重複することはありません: $12\cdot3=36$。 b) A と B を指定された位置に保持し、C、D、E、F を追加します。 点はフリーハウスを表します。 L を配置するには、ブロック $2\times2$ に 3 つの空きスペースが必要です。この構成では、各ブロック $2\times2$ には少なくとも 2 つの占有ブロックがあります。したがって7 番目のピースには適合しません。 c) ボードを 9 つの独立したブロック $2\times2$ に分割します。 5 つのピースは 15 スペースのみを占有します。すべてのブロックに 2 つの占有家がある場合、少なくとも 18 が必要になります。したがって、どのブロックにも最大 1 つの占有ブロックと、少なくとも 3 つの空きブロックがあります。ブロック $2\times2$ 内の 3 つの正方形は L を形成します。なのでもう 1 枚は必ず収まります。 年 2023 に戻る · 書籍索引.
質問 3 — カーペットとオーバーラップ
質問 4 — ブレスレット
質問 5 — 色付けのルール
質問 6 — L 字型のピース
A A F F G G
B A F H H G
B B E H I I
C C E E J I
C D K J J L
D D K K L L
. A A B B .
. A . . B .
. C C D D .
. C . . D .
. E E F F .
. E . . F .