Euler's Eyes
2026-10-14
最初の命題：正三角形
与えられた有限の直線の上に、正三角形をつくること。
— ユークリッド『原論』命題 I.1
定義、公準、公理のあと、『原論』は小さくて美しい問題で始まります。線分 $AB$ があります。定規とコンパスだけで、三辺がすべて $AB$ に等しい三角形をつくりたい。本の 465 の命題の最初のもので、ほかのすべての命題がどう進むのかを、わずかな行で示してくれます。
作図
ユークリッドは最初の三つの公準だけを使います。
- $A$ を中心、$AB$ を半径として円を描く（公準 3）。
- $B$ を中心、同じ半径 $BA$ でもうひとつ円を描く（公準 3）。
- 二つの円は点 $C$ で交わる。
- 直線 $CA$ と $CB$ を引く（公準 1）。
三角形 $ABC$ が求める三角形です。
証明
つくるだけでは足りません。三角形が正三角形であることを 証明 しなければなりません。証明は三段階で、それぞれ根拠を挙げます。
- $C$ は $A$ を中心とする円の上にあるので、$AC=AB$。円の定義により、半径はすべて等しい。
- $C$ は $B$ を中心とする円の上にあるので、$BC=BA$。同じ理由による。
- $AC$ と $BC$ はどちらも $AB$ に等しいので、$AC=BC$。公理 1、同じものに等しいものはたがいに等しい、による。
したがって
$$AC=AB=BC$$となり、三角形は正三角形です。ユークリッドはどの命題でもそうするように、ラテン語の訳者が quod erat faciendum、「これがなすべきことであった」と訳した言葉で締めくくります。作図ではなく定理の場合は quod erat demonstrandum、「これが証明すべきことであった」。有名な Q.E.D.（証明終わり）です。
座標で確かめる
今日なら、代数で作図を確かめられます。$A=(0,0)$、$B=(s,0)$ とおくと、二つの円は
$$x^2+y^2=s^2,\qquad(x-s)^2+y^2=s^2.$$二つ目から一つ目を引くと $-2sx+s^2=0$、つまり $x=\frac s2$。これを一つ目に戻すと、
$$y^2=s^2-\frac{s^2}4=\frac{3s^2}4\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{\sqrt3}2s.$$二つの円は $AB$ の両側の二点 $C=\left(\frac s2,\pm\frac{\sqrt3}2s\right)$ で交わり、どちらを使ってもかまいません。三角形の高さは $\frac{\sqrt3}2s$、面積は
$$\boxed{\text{面積}=\frac12\cdot s\cdot\frac{\sqrt3}2s=\frac{\sqrt3}4s^2.}$$穴
この証明には、古代の注釈者たちがすでに気づいていたすきまがあります。なぜ二つの円は交わるのか？ 図では交わっていますが、どの公準もそれを保証していません。たとえば、座標が有理数の点だけでできた「平面」では、ユークリッドの公準はすべて成り立ちますが、$s=1$ のとき、座標 $\frac{\sqrt3}2s$ をもつ点 $C$ は存在しません。二つの円はふれあわずにすれちがってしまうのです。
この穴をふさぐには 連続性 の公理、つまり、ある円の内側と外側の両方に点をもつ円はその円と交わる、という公理が必要です。十九世紀の終わりに、ヒルベルトたちがこうした公理を加えました。教訓は、ユークリッドが教えたかったことを、彼自身よりも先まで進めたものです。図は示唆するが、証明はしない。
練習問題：一辺が 6 cm の正三角形の高さと面積は？
高さは $\frac{\sqrt3}2\cdot6=3\sqrt3\approx5.20$ cm。面積は $\frac{\sqrt3}4\cdot36=9\sqrt3\approx15.6$ cm² です。
練習問題：一辺 s の正六角形の面積は？
正六角形は、中心を共通の頂点とする一辺 $s$ の正三角形六つに分けられます。面積は $6\cdot\frac{\sqrt3}4s^2=\frac{3\sqrt3}2s^2\approx2.6\,s^2$ です。ハチの巣が六角形なのはこのためです。すきまなく平面をしきつめる正多角形のなかで、同じ周の長さで最も広い面積を囲むのが六角形なのです。
出典： 『原論』命題 I.1、D. E. Joyce 版 · Robin Hartshorne、Geometry: Euclid and Beyond（Springer、2000）第 1 章。