Euler's Eyes
2026-10-15
ネイピアの二つの点：対数の定義
ネイピアは、今日私たちが使う指数の記法をもっていませんでした。対数を定義するために彼が使ったのは運動の像で、それはニュートンとライプニッツが微積分を生み出すよりずっと前のことでした。
定義
二つの点が同時に出発すると考えます。一つ目の点 $P$ は長さ $10^7$ の線分 $AB$ を進み、各瞬間の速さは $B$ までの残りの距離に等しい。はじめは速く、しだいに遅くなり、決して到着しません。二つ目の点 $Q$ は果てしない直線を、いつも $P$ の最初の速さで進みます。
$P$ が $B$ から距離 $x$ のところにあるとき、$Q$ が進んだ距離が $x$ の対数である。
なぜ $10^7$ なのでしょうか。ネイピアが求めたのは、天文学や航海で使われる正弦の対数でした。当時の正弦は 0 と 1 のあいだの数ではなく、分数を避けるため、大きな半径の円の半弦の長さでした。ネイピアは半径を $10^7$ にとったので、正弦は最大 8 桁の整数になりました。
今日の計算
微積分を使うと、この定義は微分方程式になります。$P$ の残りの距離を $x(t)$ とすると、速さは $-x'(t)=x(t)$、$x(0)=10^7$ です。解は
$$x(t)=10^7e^{-t}.$$点 $Q$ は一定の速さ $10^7$ で進むので、$y=10^7t$ だけ進みます。$t$ を消すと
$$\boxed{\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln\frac{10^7}{x}.}$$たとえば $P$ がちょうど半分まで来たとき、$x=5\,000\,000$ で
$$\operatorname{NapLog}(5\,000\,000)=10^7\ln2\approx6\,931\,472.$$ネイピアの対数は $x$ が大きくなると小さくなり、$\operatorname{NapLog}(10^7)=0$ であることに注意しましょう。公式の中には数 $e\approx2.71828$ が隠れています。それに名前がつくのは一世紀以上あと、オイラーによってでした。ネイピアは一度もこの数を書きませんでしたが、彼の対数は、目盛りを別にすれば、$1/e$ を底とする対数なのです。
積が和になる
公式から、表を役に立つものにした性質が出てきます。$\ln$ は積を和に変えるので、
$$\operatorname{NapLog}\!\left(\frac{xy}{10^7}\right)=\operatorname{NapLog}(x)+\operatorname{NapLog}(y).$$因数 $10^7$ はやっかいでした。かけ算のたびに、それで割ることを覚えておかなければならないのです。これが、ネイピアとブリッグスが 1615 年に、$\log1=0$、$\log10=1$ とする新しい表を作ろうと決めた理由の一つでした。
ネイピアはどう計算したか
ネイピアはこの公式をもっていませんでした。彼は $1-10^{-7}$ をくり返しかけて表を作りました。次の数
$$10^7,\quad10^7\left(1-10^{-7}\right),\quad10^7\left(1-10^{-7}\right)^2,\quad\dots$$の対数は $0, 1, 2,\dots$ にとても近い。$0.9999999$ をかけることは、7 桁ずらした数を引くことにすぎないので、一歩ごとに引き算一回ですみました。それから、歩幅の大きい補助の表、$1-10^{-5}$ と $1-\frac1{2000}$ を使って、角度 1 分ごとのすべての正弦にたどり着きました。息子が 1619 年に出版した『構成』がこの方法を説明しています。
練習問題：NapLog(10⁷/e) と NapLog(2 500 000) を計算せよ。
$x=10^7/e$ なら $\operatorname{NapLog}=10^7\ln e=10^7$。$x=2\,500\,000=10^7/4$ なら $\operatorname{NapLog}=10^7\ln4=2\times10^7\ln2\approx13\,862\,944$ で、積の性質のとおり、半分のときの対数のちょうど 2 倍です。
練習問題：表の最初の一歩で、NapLog(9 999 999) がほとんどちょうど 1 になるのはなぜか。
$\operatorname{NapLog}(9\,999\,999)=10^7\ln\frac{10^7}{9\,999\,999}=10^7\ln\frac1{1-10^{-7}}$。$h$ が小さいとき $\ln\frac1{1-h}\approx h+\frac{h^2}2$ なので、対数は $1+5\times10^{-8}$、ほとんど 1 です。ネイピアはまさにこの近似を、誤差の見積もりとともに使いました。
出典： John Napier、Mirifici logarithmorum canonis descriptio（1614）および Mirifici logarithmorum canonis constructio（1619）· Julian Havil、John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）· Eli Maor、e: The Story of a Number（Princeton、1994）。