前のトピックの説明を踏まえると、第 1 象限の機能を理解するだけで十分です。第 1 象限の 角の二等分線 における最後の対称性により、作業はさらに削減されます。$0$ から $\frac{\pi}{4}$、つまり $0^\circ$ から $45^\circ$ までの円弧を知るだけで十分です。

歴史

最初の三角関数表は弦でした。ヒッパルコスとプトレマイオスは各弓の弦を 0.5 度ずつ表にしました。インド人は半弦 (サイン) を表にし始め、アラブの天文学者は日時計の影の長さに関連する接線と余接を追加しました。 15 世紀にレギオモンタヌスは7桁で正弦を計算し、ヴァレンティン・ オトによって完成されたレティコスの遺作1596では、10秒の弧で10の6つの関数がもたらされ、最大10でした。数字 — 数十年に渡って行われた仕事で、電卓の登場により不要になりましたが、何世紀にもわたって航海と天文学を支えてきました。このトピックの対称性は、ボードを組み立てた人々の最初のトリックでした。つまり、$45^\circ$ までのサインを計算し、残りは自由に計算できました。

  1. c. 140 a.C.
    ヒパルコスは、知られている最初の弦板を作りました。
  2. c. 150
    プトレマイオス: 半度コード、基底 60。
  3. 499
    アリヤバータ: 24 個の半文字列 (正弦)、$3^\circ 45'$ から $3^\circ 45'$ まで。
  4. 世紀。 ×
    アブ アル ワファ: $15'$ から $15'$ までの正弦で、8 か所あります。
  5. c. 1464
    レギオモンタヌス: 7 桁の正弦波。
  6. 1596
    レティカスとオト：$10''$から$10''$までの6つの関数、最大10桁。
  7. 1614
    ネイピアはサインの対数の表を公開しています。
  8. 1972
    ポケット関数電卓はボードを廃止します。

出典: Regiomontanus (MacTutor) · Rheticus (MacTutor)。

日常生活での応用

  • 印刷されたテーブル。 古いナビゲーション テーブルには $0^\circ$ から $45^\circ$ までの角度のみが含まれていました。これらの角度については上から下に読み取られ、$45^\circ$ から $90^\circ$ については名前が変更 (サイン ↔ コサイン) されて下から上に読み取られました。
  • 壁にはしご。 はしごが床に対して $\alpha$ の角度をなす場合、壁に対して $90^\circ - \alpha$ の角度を作ります。到達高さは$L\operatorname{sen}\alpha = L\cos(90^\circ - \alpha)$です。
  • 太陽の高さ。 天文学者は、地平線からの太陽の高さと、その補数である天頂までの距離の両方を使用します。一方のサインは他方のコサインです。
階段は、床の角度と相補的な角度を壁に対して作ります。一方のサインは他方のコサインです。

理論

[π/4, π/2] から [0, π/4] への縮小

$x$と$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$があったとき、$P$をその像、$P'$を第1象限の角の二等分線 を基準とした$P$ の対称周期の点とします。反時計回りに $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PB} = \frac{\pi}{2}$; $\overset{\frown}{PB} = \overset{\frown}{AP'}$ の場合は $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = \frac{\pi}{2}$、次に $\overset{\frown}{AP'} = \frac{\pi}{2} - x$ になります。

$P$ をドラッグ: 点 $P'$ は第 1 象限の 角の二等分線 に対して対称です。一方のサインは他方のコサインになります。

三角形 $OPP_2$ と $OP'P_1'$ (角の二等分線 に関して対称) の合同により、$\overline{OP_2} = \overline{OP_1'}$ と $\overline{P_2P} = \overline{P_1'P'}$ が得られます。つまり、次のようになります。

性質相補的な円弧

$$\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$

そしてその結果、

$$\operatorname{tg} x = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \operatorname{cotg} x = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$$$\sec x = \operatorname{cossec}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \operatorname{cossec} x = \sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right).$$

そのため、コサイン、コタンジェント、 コセカントは余関数と呼ばれ、それぞれが補数の関数になります。

例例

$$\operatorname{sen} 71^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \cos 19^\circ \qquad \cos 60^\circ = \operatorname{sen}(90^\circ - 60^\circ) = \operatorname{sen} 30^\circ \qquad \operatorname{tg} 50^\circ = \operatorname{cotg} 40^\circ$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{6} \qquad \cos\frac{5\pi}{12} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{12} \qquad \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8} = \operatorname{cotg}\frac{\pi}{8}$$

三角関数の値の表

共関数のおかげで、$0^\circ$ から $45^\circ$ までの 1 つのテーブルが $0^\circ$ から $90^\circ$ に役立ちます。$0^\circ$ から $45^\circ$ までの角度については、上部ヘッダー を使用して列を上から下に読み取ります。 $45^\circ$～$90^\circ$ については下部ヘッダーを使用して下から上に読んでください。たとえば、$\operatorname{sen} 60^\circ$ は $30^\circ$ の行の、最下位ラベルが「sine」である列の $0{,}8660$ にあります。

ボードを開きます (0° ～ 90°)
度 ラジアン 正弦 正接 コタンジェント 余弦 ラジアン 度
0° 0,0000 0,0000 0,0000 — 1,0000 1,5708 90°
1° 0,0175 0,0175 0,0175 57,290 0,9998 1,5533 89°
2° 0,0349 0,0349 0,0349 28,636 0,9994 1,5359 88°
3° 0,0524 0,0523 0,0524 19,081 0,9986 1,5184 87°
4° 0,0698 0,0698 0,0699 14,301 0,9976 1,5010 86°
5° 0,0873 0,0872 0,0875 11,430 0,9962 1,4835 85°
6° 0,1047 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 1,4661 84°
7° 0,1222 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 1,4486 83°
8° 0,1396 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 1,4312 82°
9° 0,1571 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 1,4137 81°
10° 0,1745 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 1,3963 80°
11° 0,1920 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 1,3788 79°
12° 0,2094 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 1,3614 78°
13° 0,2269 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 1,3439 77°
14° 0,2443 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 1,3265 76°
15° 0,2618 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 1,3090 75°
16° 0,2793 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 1,2915 74°
17° 0,2967 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 1,2741 73°
18° 0,3142 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 1,2566 72°
19° 0,3316 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 1,2392 71°
20° 0,3491 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 1,2217 70°
21° 0,3665 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 1,2043 69°
22° 0,3840 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 1,1868 68°
23° 0,4014 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 1,1694 67°
24° 0,4189 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 1,1519 66°
25° 0,4363 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 1,1345 65°
26° 0,4538 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 1,1170 64°
27° 0,4712 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 1,0996 63°
28° 0,4887 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 1,0821 62°
29° 0,5061 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 1,0647 61°
30° 0,5236 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 1,0472 60°
31° 0,5411 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 1,0297 59°
32° 0,5585 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 1,0123 58°
33° 0,5760 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 0,9948 57°
34° 0,5934 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 0,9774 56°
35° 0,6109 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 0,9599 55°
36° 0,6283 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 0,9425 54°
37° 0,6458 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 0,9250 53°
38° 0,6632 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 0,9076 52°
39° 0,6807 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 0,8901 51°
40° 0,6981 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 0,8727 50°
41° 0,7156 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 0,8552 49°
42° 0,7330 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 0,8378 48°
43° 0,7505 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 0,8203 47°
44° 0,7679 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 0,8029 46°
45° 0,7854 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 0,7854 45°
コサイン コタンジェント 接線 正弦 ラジアン 度

注意リダクションボードの使用

$\cos 2861^\circ$ を計算するには: $2861^\circ - 7 \cdot 360^\circ = 341^\circ$ (第 4 象限)、$\cos 341^\circ = \cos(360^\circ - 341^\circ) = \cos 19^\circ \approx 0{,}9455$。

このセクションの演習は [章リスト] の 118 番です(/jp/posts/basic/trigonometria/livro/cap04-reducao-ao-primeiro-quadrante/04-exercicios/).