Euler's Eyes
2026-10-11
6 章の演習 — 直角度
演習と解決策
$\overline{AH}$が$\triangle ABC$の$\overline{BC}$辺を基準とした高さである場合、次の場合の$\hat{B}$と$\hat{C}$を決定します。
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a) $\hat{B} = 70^{\circ}$ および $\hat{C} = 40^{\circ}$ b) $\hat{B} = 60^{\circ}$ および $\hat{C} = 40^{\circ}$
以下の各ケースでは、ベース 二等辺三角形 $\overline{BC}$ があります。ベースの角度を決めます。
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a) $65^{\circ}$ b) $61^{\circ}$
図の三角形$ABC$において、$\overline{AH}$が高さ、$\overline{BS}$が角の二等分線の場合、$B\hat{A}H = 30^{\circ}$と$A\hat{C}B = 40^{\circ}$から$B\hat{S}C$を求めます。
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$B\hat{S}C = 110^{\circ}$
図から、$\overline{AH}$ は高さ、$\overline{AS}$ は三角形 $ABC$ の $\overline{BC}$ に対する相対的な 角の二等分線 であることがわかります。 $\hat{B} = 70^{\circ}$と$H\hat{A}S = 15^{\circ}$の場合は$\hat{C}$を求めます。
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$\hat{C} = 40^{\circ}$
以下の場合の$x$の値を求めます。
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a) $25^{\circ}$ ・ b) $145^{\circ}$ ・ c) $160^{\circ}$ ・ d) $40^{\circ}$
実例: それぞれ垂直な辺を持つ 2 つの角度は合同または補足的です。
この本の解像度を参照してください
角度を $a\hat{O}b$ と $c\hat{V}d$、$Oa \perp Vc$ と $Ob \perp Vd$、測定値 $\alpha$ と $\beta$ とし、$\alpha^{\prime}$ と $\beta^{\prime}$ を補足的な隣接するものの測定値とします。 $O$ を介して $Oc^{\prime} \parallel Vc$ と $Od^{\prime} \parallel Vd$ を導き、その結果、$\gamma$ とその隣接する補足 $\gamma^{\prime}$ を測定する角度 $c^{\prime}\hat{O}d^{\prime}$ が得られます。
平行辺の角度別: $\gamma = \beta$、$\gamma^{\prime} = \beta^{\prime}$。 $a\hat{O}c^{\prime}$ と $b\hat{O}d^{\prime}$ は直線なので、次のようになります。
$$a\hat{O}d^{\prime} = 90^{\circ} - \alpha \quad\text{e}\quad a\hat{O}d^{\prime} = 90^{\circ} - \gamma = 90^{\circ} - \beta \ \Longrightarrow\ \alpha = \beta.$$次に$\alpha = \beta$、$\alpha^{\prime} = \beta^{\prime}$、$\alpha + \beta^{\prime} = 180^{\circ}$、$\alpha^{\prime} + \beta = 180^{\circ}$となります。
図（左）において、$x$の値を計算します。
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$x = 80^{\circ}$
上図(右)の$x$の値を計算します。
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$x = 70^{\circ}$
図中、$\alpha$、$\beta$、$\gamma$の寸法を求めます。
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$\alpha = 40^{\circ}$、$\beta = 50^{\circ}$、$\gamma = 40^{\circ}$
図の三角形$ABC$の中に、$\hat{B} = 60^{\circ}$と$\hat{C} = 20^{\circ}$があります。高さ$\overline{AH}$と角の二等分線$\overline{AS}$がなす角度$H\hat{A}S$の値はいくらですか?
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$H\hat{A}S = 20^{\circ}$
$\overline{AB}$ を底とする 二等辺三角形 $ABC$ では、角 $\hat{B}$ は、垂直二等分線 $\overline{QS}$ と $\overline{PS}$ によって形成される角 $\hat{S}$ の $\dfrac{2}{3}$ に等しくなります。この三角形の角度を計算します。
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$36^{\circ}$、$72^{\circ}$、$72^{\circ}$
表示: 直角三角形の斜辺に対する中央値は、斜辺の半分を測定します。
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これは、上で示した斜辺定理に対する中央値です。
三角形 $ABC$ が斜辺 $\overline{BC}$ を持つ長方形で、$\overline{AM}$ が中央値の場合、$x$ を決定します。
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a) $25^{\circ}$ b) $20^{\circ}$
図において、$x$と$y$を計算します。 $M$ は $\overline{BC}$ の中点です。
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$x = \dfrac{10}{3}$ および $y = 30$
図中、$\overline{BD}$は直角三角形$ABC$($\hat{B} = 90^{\circ}$)と$\overline{BE} \perp \overline{AC}$の中線です。 $\hat{A} = 70^{\circ}$の場合は、$E\hat{B}D$の寸法を計算します。
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$E\hat{B}D = 50^{\circ}$
図の直角三角形$ABC$において、中線$\overline{AM}$は角の二等分線$\overline{BF}$と隣接する角$B\hat{F}A$、$B\hat{F}M$を形成します。 $B\hat{F}M$を$\hat{B}$で表現します。
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$B\hat{F}M = \dfrac{3\hat{B}}{2}$
直角三角形 $ABC$ では、高さ $\overline{AS}$ は中線 $\overline{AM}$ と角度 $22^{\circ}$ を形成します。 $\hat{B}$と$\hat{C}$を計算します。
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$\hat{B} = 56^{\circ}$ および $\hat{C} = 34^{\circ}$
斜辺に対する中央値と 角の二等分線 が角度 $35^{\circ}$ を形成することがわかっているので、直角三角形の鋭角を決定します。
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$80^{\circ}$ および $10^{\circ}$
三角形$ABC$の角$\hat{B}$と角$\hat{C}$の内角の二等分線は角$116^{\circ}$を形成します。この三角形の辺 $\overline{AB}$ と $\overline{AC}$ に対する高さによって形成される最小角度の測定値を求めます。
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$52^{\circ}$
どの直角三角形でも、斜辺に対する高さと中央線によって形成される角度は、斜辺に隣接する角度間の差の係数に等しくなります。
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斜辺に対する中央値が 2 つの 二等辺三角形 を決定すると考えてください (中央値の図を参照)。
三角形の辺に対する中央値がその辺の半分を測定する場合、その三角形は直角であることを示します。
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三角形 $AMB$ と $AMC$ は二等辺です。 $\alpha$ と $\beta$ が底角で、$2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$ なので $\alpha + \beta = 90^{\circ} = \hat{A}$ になります。
$ABC$ は 二等辺三角形 の基底 $\overline{BC}$ で、$M$ は基点であるため、次のことを証明します。 1) $\overline{AM}$ が中央値の場合、それは 角の二等分線 で高さです。 2 番目) $\overline{AM}$ が 角の二等分線 の場合、それは中央値と高さです。 3番目) $\overline{AM}$ が身長の場合、中央値と 角の二等分線。
この本の解像度を参照してください
二等辺三角形 では、底角は合同です。それぞれの場合で、$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ が証明されます。
- $\overline{AM}$ 中央値: LLL (または LAL) の場合。したがって、$\overline{AM}$ は 角の二等分線 と高さになります。
- $\overline{AM}$ 角の二等分線: LAL (または ALA) の場合。したがって、$\overline{AM}$ は中央値と高さになります。
- $\overline{AM}$ 高さ: 直角三角形 (または LAAₒ) の特殊な場合用。したがって、$\overline{AM}$ は中央値であり、角の二等分線 です。
すべての 二等辺三角形 で常に 2 つの一致する高さがあることを示します。
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LAAₒを使用します。
三角形の高度と中央値が一致する場合、その三角形は二等辺であることを示します。
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LALを使用します。
高度と三角形の 角の二等分線 が一致する場合、その三角形は二等辺であることを示します。
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ALAを使用します。
直角三角形の鋭角の角の二等分線がそれらの鋭角の値に依存しない角度を形成することを証明してください。
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実際、$\dfrac{\hat{B}}{2} + \dfrac{\hat{C}}{2} = 45^{\circ}$ であるため、それらは常に $45^{\circ}$ と $135^{\circ}$ の角度を形成します。
三角形の 2 つの高さが一致する場合、その三角形は二等辺であることを示します。
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直角三角形の合同という特殊なケースを使用します。
セグメントの中点を通過するすべての直線は、セグメントの端から等距離にあります。
この本の解像度を参照してください
仮説: $AM = MB$、$M \in r$。 論文: $d_{A,r} = d_{B,r}$。
- $r \supset \overline{AB}$ の場合、両方の距離は null です。
- セ $r$ 含まれていない $\overline{AB}$ それに対して垂直ではないので、描画します $\overline{AA^{\prime}}$ そして $\overline{BB^{\prime}}$ に垂直 $r$。三角形で $AA^{\prime}M$ そして $BB^{\prime}M$: $\hat{A}^{\prime} \equiv \hat{B}^{\prime}$ （真っ直ぐ）、 $A\hat{M}A^{\prime} \equiv B\hat{M}B^{\prime}$ (o.p.v.) そして $AM = BM$。 LAAₒ により、それらは合同であり、 $AA^{\prime} = BB^{\prime}$.
- $r \perp \overline{AB}$×$M$($r$は垂直二等分線)の場合、$A^{\prime} = B^{\prime} = M$と$AA^{\prime} = BB^{\prime}$となります。
注: 直線は両端から等距離ですが、 その点は一般に等距離ではありません。 垂直二等分線 でのみ、各点が両端から等距離になります。
セグメントの端から等距離にあるすべての直線はその中点を通過しますか?
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いいえ: セグメントと平行にすることができます。
2 つの別個の点 $A$ と $B$、および直線 $AB$ の外側の点 $P$ が与えられた場合、点 $A$、$B$、および $P$ の平面内で、$A$ と $B$ から $P$ を通る等距離の 2 つの直線を取得するにはどうすればよいでしょうか。
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$M$は$\overline{AB}$の中点なので、線分$AB$～$P$、線分$PM$と平行になります。
三角形の任意の辺に対する高さが、隣接する辺の算術平均より小さいことを証明します。
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カテーテル < 斜辺: $h_a < b$ および $h_a < c$; $h_a < \dfrac{b + c}{2}$ を追加します。
鋭角三角形の 3 つの高さの合計が、その三角形の外周よりも小さく、半周よりも大きいことを示します。
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1 番目の部分: 3 つのピッチには前のものを使用します。 2 番目の部分: $2h_a > b + c - a$ (および同様のもの) が消えていることを確認します。
$r$と$s$は平行線、$DE = 2AB$は平行線なので$x$を求めます。
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$M$ を $\overline{DE}$ と $AB = \ell$ の中点とします。次に $DM = EM = \ell$、直角三角形の斜辺を基準とした中央値 $DBE$ も $BM = \ell$ になります。したがって、三角形$ABM$と$BME$は二等辺三角形です。底辺の角度を示すと$x = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}$となります。
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$x = 36^{\circ}$
斜辺$\overline{BC}$の直角三角形$ABC$に$\overline{AC}$に$S$を入れて角の二等分線$\overline{BS}$を描きます。 $AS < SC$を表示します。
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点$S$を通り、$\overline{BC}$に$R$を入れて$\overline{BC}$に垂直に$\overline{SR}$を描きます。三角形 $BAS$ と $BRS$ は合同なので、$AS = RS$ (1) となります。直角三角形では$SRC$、$RS < SC$(辺<斜辺)(2)。 (1) と (2) から、$AS < SC$。
下の三角形$ABC$は底辺が$\overline{BC}$の二等辺三角形です。 $x$を決定します。
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- $\hat{B} = \hat{C} = 70^{\circ}$なので、$\overline{BP}$は$\hat{B}$の角の二等分線($35^{\circ} + 35^{\circ}$)となります。
- $\triangle BPC$ の場合: $\hat{B} = 35^{\circ}$、$\hat{C} = 55^{\circ}$、$\hat{P} = 90^{\circ}$。
- $\triangle CBE$において、$\overline{BP}$は角の二等分線と高さなので、三角形の底辺は二等辺$\overline{CE}$、$P$は$\overline{EC}$の中点となります。
- $\triangle DEC$において、$\overline{DP}$は中央値と高さなので、底辺二等辺$\overline{EC}$でもあります。次に$\hat{E} = 15^{\circ}$と$x = 75^{\circ}$。
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$x = 75^{\circ}$