出典: FUVEST – テスト V1 およびテンプレート 一般知識試験（第1段階）の23/11/2025で適用されます。のファイル FUVEST コレクション 2026。

FUVEST の第 1 フェーズ 2026 には、全員からの多肢選択問題 90 がありました。 規律。この投稿では数学の疑問をお届けします。ここで使用される番号付けは、 Proof V1 のもの。バージョン V2、V3、V4 では、同じ問題が別のバージョンでも発生します。 順序（公式テンプレートには対応表が含まれています）。

テンプレート

質問 主題 テンプレート
3 論理的推論: タイブレーカーによる選挙 キャンセル
4 対数: シャノンエントロピー A
6 空間幾何学: 通常のピラミッド E
7 三角法: 二重円弧の方程式 D
18 指数関数と対数 E
30 空間ジオメトリ: シリンダー体積 B
36 直角三角形の三角法 E
37 解析幾何学: 円方程式 A
55 完全数、素数、数列 B
74 関数グラフの変換 D

質問 3: 何票得れば選挙が保証されますか?

問題は FUVEST によってキャンセルされました。 公式解答用紙では、テスト V1 の質問 3 アスタリスク (無効化) が表示されます。 FUVESTは中止の理由を明らかにしていない。

声明

5 人のメンバーで構成される評議会の選挙には、7 人の候補者がいます 登録済みの有権者と合計 35 人の有権者。最も多くの票を獲得した 5 候補者が選出されます。 タイブレーカーは年齢、つまり2人で1枠しかない場合 得票数が同数の候補者は、最年長の候補者が選出され、 若いです、いいえ。全候補者の中で最年少のアレフ氏は、 彼が当選を確実にするために必要な票数を分析している。

各有権者は 1 人の候補者にのみ投票する権利があることを理解し、 通常、こうした選挙では有権者のうち 1 人か 2 人が投票に来ません。 次のように言えます:

  • A) 1 人または 2 人の有権者が出席しない場合、少なくとも 5 票を獲得していればアレフが選出されます。
  • B) たとえ 1 人または 2 人の有権者が出席しなかったとしても、アレフは 5 票で選出されません。
  • C) 投票者が 2 名も現れない場合、アレフが選出されるには 5 票を獲得する必要があります。ただし、投票者が 1 人だけ出席しなかった場合、5 票では当選が保証されません。
  • D) 2 人の有権者が出席しない場合、アレフはわずか 4 票で当選できるように、6 票以上を獲得した当選者の 1 人が必要です。
  • E) 投票者のうち 1 人だけが現れない場合、アレフはわずか 4 票で当選できるように、6 票以上を獲得した当選者のうち 2 人が必要です。

コメント

質問は無効になったため、正式な代替案はありません。それでも価値はある 出席した各有権者が次の点に投票すると仮定して、中心的な考え方を理解する練習をします。 どの候補者でも。

1。アレフが除外されるのはいつですか? アレフはタイブレークですべて負けます (これが最も多いです) 新しい)。したがって、$v$ 票の彼は、ちょうど5 票、他の 6 票のときに除外されます。 候補者は $v$ 以上の票を持っています。

2。何票獲得すればその順位が保証されますか? $T$ が総投票数の場合、5 のライバルの場合 $5v + v \le T$ ごとに少なくとも $v$ 票、つまり $6v \le T$ 票を持っています。 1 人または 2 人の有権者が欠席した場合、$T = 34$ または $T = 33$:

  • $v = 5$: $6 \cdot 5 = 30 \le 33$ の場合、5 のライバルが 5 以上の票を持っている可能性があり、5 の票は当選を保証するものではありません。
  • $v = 6$: $6 \cdot 6 = 36 > 34$ の場合、6 票が選挙を保証します。

言い換えれば、5 票で十分な場合もあれば、十分ではない場合もあります。 6 票はいつでも十分です。

FUVESTは声明のどの部分や代替案が今回の決定につながったのかについては明らかにしていない。 キャンセルなので、理由はありません。

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質問 4: 対数を使用したシャノンのエントロピー

声明

エントロピーの概念は、いくつかの知識分野に浸透しており、 クロード・シャノンによる情報理論。 システムのエントロピー $E$、つまり

$$E = -\sum_i P_i(x)\log_2 P_i(x)$$

ここで、$P_i(x)$ は変数 $x$ のi 番目の結果の確率です。

たとえば、2 つの色の文字 A、最初の文字が青、そして 2番目の赤（AA）。 これら 2 通の手紙が投票箱に投函された場合、無投票で棄権する確率は 元のシーケンスと同様に、青い文字は $\frac{1}{2}$ であることに注意してください。に戻る 投票箱に手紙を投函し、再度抽選する。赤が出る確率がまた $\frac{1}{2}$、この場合は次のようになります。

$$E = -\sum_i P_i(x)\log_2 P_i(x) = -\left(\frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2}\right) = 1$$

4 文字 A のシーケンスの場合、最初の 2 つは青、最後の 2 つは青です 赤 (AAAA）、 壺に入れて引くと青が出る確率は $\frac{1}{2}$。手紙は返され、再び描かれます。確率は 描かれた 2 番目の文字は、元のシーケンスと同様に青ですが、これも青です $\frac{1}{2}$。 2 つの赤い文字についてこのように進めると、次のようになります。

$$E = -\sum_i P_i(x)\log_2 P_i(x) = -\left(\frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2\frac{1}{2}\right) = 2$$

この情報に基づいて、エントロピーの値はいくらでしょうか? $E$の場合、 4 つの文字 A からなるシーケンス。最初の 3 文字は青、最後の文字は赤です (AAAA)?

  • A) $5 - \frac{9}{4}\log_2 3$
  • B) $\frac{1}{2} - \frac{5}{2}\log_2 3$
  • C) $\frac{3}{2}$
  • D) $\frac{9}{4}\log_2 3$
  • E) $3$

解決

例では、合計にはシーケンス内の各文字に対して 1 つの項があり、各項は 確率を使用してその文字の色を描画します。

1。オッズ 投票箱には 3 の青色の文字と 1 の赤色の文字があります。

$$P(\text{azul}) = \frac{3}{4}, \qquad P(\text{vermelha}) = \frac{1}{4}$$

2。合計を組み立てます。 $\frac{3}{4}$ を含む 3 つの項 (青い 3 つ) と 1 つの項があります。 $\frac{1}{4}$ の付いた用語 (赤色):

$$E = -\left(3 \cdot \frac{3}{4}\log_2\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\log_2\frac{1}{4}\right)$$

3。対数の簡略化。 商の性質により、

$$\log_2\frac{3}{4} = \log_2 3 - \log_2 4 = \log_2 3 - 2, \qquad \log_2\frac{1}{4} = -2$$

4。計算中です。

$$E = -\left(\frac{9}{4}(\log_2 3 - 2) + \frac{1}{4}\cdot(-2)\right) = -\frac{9}{4}\log_2 3 + \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5 - \frac{9}{4}\log_2 3$$

数値的に確認する場合：$5 - \frac{9}{4}\cdot 1{,}585 \approx 1{,}43$、値 0 と 2 の間、これは理にかなっています (シーケンスは 2 つよりも「混合が少ない」) 青と 2 つの赤、エントロピー 2)。

答え: 代替 A ($5 - \frac{9}{4}\log_2 3$)。

落とし穴に注意してください: 代替 D ($\frac{9}{4}\log_2 3 \approx 3{,}57$) のマイナス記号と$-2$を忘れたときに表示されます。 $\log_2\frac{3}{4}$。 2 よりも大きなエントロピーが得られることに注意してください。 ここの感覚。

確認するには、対数のプロパティ.

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質問 6: ピラミッドのトレイルとスロープ

声明

歴史と文化を大切にするフィールド活動に 文化、地理の教師が生徒をある学校に連れて行きました。 地理的記念碑。彼らは通常のベースピラミッドのレプリカを訪れました 底辺の中心から 18 メートルの高さに頂点を持つ正方形。顔 ピラミッドの面は東、南、東、西を向いています。アクセスするには ピラミッドの頂点では、学生たちは歩道に沿って歩く必要があり、 北面にあるスロープを登ります。トレイルは西、南、 広場の東側と北側の半分。このランプはまさに次の場所にあります。 顔の真ん中、つまりピラミッドの辺心距離です。

ピラミッドの体積は 864 m3、およそ何メートルであることがわかります。 学生たちはピラミッドの頂上に到達するために通過しなければなりませんでしたか?

  • A) 36
  • B) 41
  • C) 48
  • D) 54
  • E) 61

解決

1。底面の側面。 ピラミッドの体積は、底面の面積の 3 分の 1 に底面の面積を掛けたものです。 高さ。辺$\ell$、高さ18mの正方形の底辺の場合:

$$864 = \frac{1}{3}\cdot \ell^2 \cdot 18 = 6\ell^2 \quad\Rightarrow\quad \ell^2 = 144 \quad\Rightarrow\quad \ell = 12 \text{ m}$$

2。トレイルの長さ 3 つの側面 (西、南、東) に半分を加えたもの 北側:

$$3 \cdot 12 + 6 = 42 \text{ m}$$

3。ランプの長さ (ピラミッドの 辺心距離)。 辺心距離 $g$ は頂点をピラミッドに接続します。 ベースの片側の中点。できた直角三角形の斜辺です 高さ (18 m) と底面の中心から側面の中央までの距離による ($\frac{\ell}{2} = 6$メートル):

$$g^2 = 18^2 + 6^2 = 324 + 36 = 360 \quad\Rightarrow\quad g = \sqrt{360} \approx 18{,}97 \text{ m}$$

4。合計です。

$$42 + 18{,}97 \approx 60{,}97 \approx 61 \text{ m}$$

答え: 代替 E (61)。

復習については、ピタゴラスの定理.

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質問 7: 生徒は三角方程式のどこを間違えましたか?

声明

三角方程式を考えてみましょう

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} + \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(2x) - \cos\pi$$

$x \in \mathbb{R}, \quad 0 \le x < 2\pi$まで。

ある学生はこの方程式を次のように解きました。

$$ \begin{aligned} \operatorname{sen}\frac{\pi}{2} + \operatorname{sen} x &= \operatorname{sen}(2x) - \cos\pi \\ 1 + \operatorname{sen} x &= \operatorname{sen}(2x) + 1 \\ \operatorname{sen} x &= \operatorname{sen}(2x) \\ \operatorname{sen} x &= 2\operatorname{sen} x \\ 2\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} x &= 0 \\ \operatorname{sen} x &= 0 \\ & x = 0 \text{ ou } x = \pi \end{aligned} $$

学生が提示した解決策は間違っています。

  • A) は $\cos\pi$ に 1 の価値があると考えました。
  • B) は、三角関数のサイクルの無限回転を答えに考慮していませんでした。
  • C) は $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}$ に 1 の価値があると考えました。
  • D) は 2 つの円弧の合計の正弦を正しく使用していませんでした。
  • E) は 1 つだけではなく 2 つの答えを提示しました。

解決

一行ずつ確認してみましょう。

1。 2 行目 $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$ と $\cos\pi = -1$、その後 $-\cos\pi = +1$。 $1 + \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(2x) + 1$行 は正しいです（これはすでにAとCを除外しています）。

2。 3 行目。 両側の 1 をキャンセルします。 $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(2x)$。あなたも正しいです。

3。 4 行目: ここがエラーです。 生徒は変更されました。 $\operatorname{sen}(2x)$ by $2\operatorname{sen} x$、ただし正弦は「2を通過しません」 出た。」 $2x = x + x$ として、和正弦式は次のようになります。

$$\operatorname{sen}(2x) = \operatorname{sen}(x + x) = \operatorname{sen} x\cos x + \cos x\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} x\cos x$$

4。正しい解像度です。

$$\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen} x\cos x \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen} x \cdot (2\cos x - 1) = 0$$

次に $\operatorname{sen} x = 0$ ($x = 0$ または $x = \pi$ を与えます) または $\cos x = \frac{1}{2}$ ($x = \frac{\pi}{3}$ または $x = \frac{5\pi}{3}$ を与えます)。 ○ 学生は最後の 2 つの解を失いました。

他の代替案も役に立ちません。このステートメントでは次のことが制限されます。 $0 \le x < 2\pi$ の場合、「無限ターン」を考慮する必要はありません (B)。 方程式には実際には複数の解があります (E)。

答え: 代替案 D (2 つの円弧の和の正弦を正しく使用していませんでした)。

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質問 18: アプリケーションが 300 千ユーザーを超えるのはいつですか?

声明

テクノロジースタートアップは新しいアプリを開発しており、 リリースから $t$ 週間後、ユーザー数は数千人増加しています。 関数に従って：

$$M(t) = 200 \times (1{,}1)^t$$

これにより、スタートアップ チームは次のことを知りたいと考えています。 ユーザー数が 300 千を超えていますか?

  • A) 0 週間から 1 週間の間。
  • B) 1 週間から 3 週間の間。
  • C) 2 週間から 4 週間の間。
  • D) 3 週間から 4 週間の間。
  • E) 4 週間から 6 週間の間。

次のことに注意して採用してください。 $\log 3 \cong 0{,}4771$; $\log 5 \cong 0{,}6990$および$\log 11 \cong 1{,}0414$

解決

1。不等式の設定 $M(t)$ は千単位なので、300 千は に対応します。 $M(t) = 300$:

$$200 \cdot (1{,}1)^t > 300 \quad\Rightarrow\quad (1{,}1)^t > 1{,}5$$

2。対数を適用します (底は 10、両側。対数が増加するにつれて、 不等式の意味は残ります):

$$t \cdot \log 1{,}1 > \log 1{,}5 \quad\Rightarrow\quad t > \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}1}$$

3。指定された値の対数を計算します。

  • $\log 1{,}1 = \log\frac{11}{10} = \log 11 - 1 = 0{,}0414$
  • $\log 2 = \log\frac{10}{5} = 1 - \log 5 = 0{,}3010$
  • $\log 1{,}5 = \log\frac{3}{2} = \log 3 - \log 2 = 0{,}4771 - 0{,}3010 = 0{,}1761$

4。結果です。

$$t > \frac{0{,}1761}{0{,}0414} \approx 4{,}25$$

ユーザー数は約 4,25 週間後に 300 千を超えます。つまり、 4 週間から 6 週間の間。

答え: 代替案 E (4 週間と 6 週間の間)。

確認するには、対数のプロパティ.

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質問 30: アルミ缶の最も低い高さ

声明

ブラジルはアルミニウムリサイクルの世界リーダーであり、その数は世界に近い水準に達しています。 2021 年にリサイクルされた缶の 99%。これらの缶はすでに使用されています ソフトドリンク、ビール、エナジードリンクに加え、ミネラルウォーターも導入開始 内側。

ある企業がアルミ缶に 350 mL の水を入れたいと考えているとします。 円筒形であり、材料の取り扱いやコストなどの実際的な理由から、 この缶の底の直径は 5 cm から 8 cm まででなければなりません。

缶の最小の高さはおよそ何センチですか?

  • A) 5
  • B) 7
  • C) 13
  • D) 18
  • E) 28

解決

1。シリンダー容積 $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$ として、缶には次のものが必要です。 ボリューム $350 \text{ cm}^3$:

$$V = \pi r^2 h = 350 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{350}{\pi r^2}$$

2。高さはいつ最小になりますか? 一定の体積の場合、 半径が大きくなります。 高さが小さくなります。次に、許容される最大の直径 8 cm を使用します。つまり、 $r = 4$cm。

3。計算中です。

$$h = \frac{350}{\pi \cdot 16} \approx \frac{350}{50{,}27} \approx 6{,}96 \text{ cm} \approx 7 \text{ cm}$$

答え: 代替案 B (7 cm)。

引っ掛かりに注意 最小サイズ使用時は代替D(18cm)が出ます。 直径、5 cm ($h = \frac{350}{\pi \cdot 2{,}5^2} \approx 17{,}8$)。これは、 最小ではなく、 可能な最大の高さです。

確認するには、円の領域.

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質問 36: トータルステーションとの標高差

声明

2 点 A と B の間の高度 (高さ) の差を計算するには、 地上に設置され、技術者はトータル ステーション (ET) の機器を使用しました。 異なるポイントのレベル間の差を測定するために使用されます。彼は、 から水平に等距離の点 M にある高さ 1,6 m の装置 点 A と B、それぞれから 40 m、読み取りプリズム (照準器) が配置されている場所、 次の図に示すように:

下向きの傾斜角$\alpha_A$を7°とすると、 上向きの傾き $\alpha_B$ は 5° であり、プリズムの読み取り値 $h_B$ は 点 B は 3,60 m で、それらの間の高度 (高さ) の差をメートル単位で求めます。 ポイントAとB。

  • A) 1,60
  • B) 2,80
  • C) 3,16
  • D) 3,96
  • E) 4,80

注記して採用: $\tan(5°) \cong 0{,}087$ および $\tan(7°) \cong 0{,}122$

解決

デバイスを通る水平線を基準とします（線） 図中の点線）。したがって、デバイスの高さ 1,6 m は考慮されません。 その行がどこにあるかを示すだけです。

1。ポイント A. 照準器は、40 m の点 A で照準器の麓まで 7° 降下します。 水平方向。直角三角形が形成されます。

$$\text{desnível até A} = 40 \cdot \tan 7° \approx 40 \cdot 0{,}122 = 4{,}88 \text{ m}$$

したがって、点Aは水平線より4,88 m の下にあります。

2。ポイント B。 照準器は 5° 上昇し、次の点で B の照準器に到達します。

$$40 \cdot \tan 5° \approx 40 \cdot 0{,}087 = 3{,}48 \text{ m}$$

水平線の上です。この同じ点は地上 $h_B = 3{,}60$ m です すると、B の地面は $3{,}60 - 3{,}48 = 0{,}12$ m の線の下になります。 水平方向。

3。標高差です。

$$4{,}88 - 0{,}12 = 4{,}76 \text{ m}$$

「メモして採用」からの近似値を使用して、4,76 m を取得します。接線を使用する 小数点以下の桁数が多い ($\tan 7° \approx 0{,}1228$ および $\tan 5° \approx 0{,}0875$) 約 4,81 m になります。いずれの場合も、最も近い選択肢は 4,80 m です。 点Bが最も高い。

答え: 代替 E (4,80 m)。

キャッチに注意してください: 代替 C (3,16) は $4{,}76 - 1{,}6$: Leave デバイスの高さは請求書に含めるべきではありませんが、割り引いてください。 ターゲットは同じポイントから始まります。

確認するには、直角三角形.

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質問 37: 正方形に接する円周 (解析幾何学)

声明

エンジニアたちは、プロジェクト建設のための土地の地図を作成していました。 4 つの円筒形の建物が正方形の周りに配置されています。 スクエアフォーマット。建物を建設するために、エンジニアは境界を定めました。 次の系の点 $A = (0,0)$、$B = (8,0)$、C および D にある正方形の頂点 各単位が 1 メートルに対応するデカルト座標。

各建物の円形セクションの端が建物の各側面に接していることを知っています。 中点の正方形、建物の円周の方程式はどうなるか 中心から正方形の中心までの距離が 10 m で、 図に示すように、接点 $P$ によって?

画像の縮尺が正しくありません

  • A) $(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 36$
  • B) $(x - 18)^2 + (y - 4)^2 = 100$
  • C) $(x - 8)^2 + (y - 24)^2 = 36$
  • D) $x^2 + y^2 = 36$
  • E) $(x - 4)^2 + (y - 24)^2 = 100$

解決

1。正方形 $A = (0,0)$ と $B = (8,0)$ では、辺の長さは 8 になります。 $C = (8,8)$と$D = (0,8)$。正方形の中心は$O = (4,4)$です。

2。接点 $P$ は $\overline{BC}$ の中点です。

$$P = \left(\frac{8+8}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (8, 4)$$

3。建物の中心 円は $BC$ (垂直) の側面に接しています。 $P$ の場合、$P$ に到達する光線は $BC$ に対して垂直、つまり水平になります。 ○ 中心は $y = 4$ 線上、$P$ の右側にあります。 $O = (4,4)$ から 10 m であるため、次のようになります。

$$\text{centro} = (4 + 10, 4) = (14, 4)$$

4。半径は中心から$P$: $r = 14 - 8 = 6$までの距離です。

5。方程式です。

$$(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 6^2 = 36$$

答え: 代替 A ($(x - 14)^2 + (y - 4)^2 = 36$)。

落とし穴に注意してください: 代替案 B は、半径として 10 を使用します。ただし、10 m は 建物の中心から正方形の中心までの距離。半径はちょうどその部分です $P$ から建物の中心 $10 - 4 = 6$ まで進みます。

確認するには、デカルト平面.

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質問 55: 完全数とメルセンヌ素数

声明

数学には奇妙な数字があります。完全数もその一部です。 1 つ 数値 $n$ (から $n \in \mathbb{N}^*$) が完全であるのは、それが合計に等しい場合に限ります。 その正の約数 (それ自体を除く)。完全数の関係と 素数について、ユークリッドは有名な著書『要素』の中で次のような命題を書きました。 $2^n - 1$ が素数の場合、$2^{n-1}(2^n - 1)$ は完全数です。

上記を考慮すると、次のように言うのが正しいです。

  • A) $n = 1$ を除き、数列 $(a_n) = (2^n - 1)$ の最初の項 5 は素数です。
  • B) 第一項が最初の完全数で、比が3である等比数列の項は偶数です。
  • C) 数値 28 と 31 は完全数です。
  • D) ユークリッドの命題では、$n = 4$ について、$2^n - 1$ は素数ではありませんが、$2^{n-1}(2^n - 1)$ は完全であることがわかります。
  • E) $(a_n) = (2^n - 1)$ の連続する項の差で構成される数列は、比 2 の等差数列です。

解決

それぞれの選択肢を分析してみましょう。

A) 誤り。 最初の 5 項は、$2^1 - 1 = 1$、$3$、$7$、$15$、および $31$ です。 $n = 1$という用語はともかく、$2^4 - 1 = 15 = 3 \cdot 5$という用語はそうではありません。 いとこ。

B) 真です。 $1 + 2 + 3 = 6$ であるため、最初の完全数は 6 です。のPG 第一項6と比率3は

$$6, 18, 54, 162, \dots \qquad a_k = 6 \cdot 3^{k-1} = 2 \cdot 3^k$$

すべての項には因数 2 があるため、すべて偶数になります。

C) 誤り。 28 は完全 ($1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$) ですが、31 は素数です。その唯一のものです。 自身の約数は1、$1 \neq 31$です。

D) 誤り。 $n = 4$ の場合: $2^4 - 1 = 15$ は素数ではありません (その部分は正しい) が、 $2^3 \cdot 15 = 120$ は完全ではありません: 120 の約数の合計を除いたもの それ自体は $360 - 120 = 240 \neq 120$ です。

E) 誤り。 違いは $a_{n+1} - a_n = 2^{n+1} - 2^n = 2^n$、つまり、 $2, 4, 8, 16, \dots$: 算術ではなく、比2 の幾何学的な数列。

答え: 代替案 B。

キャッチに注意してください: 代替案 D は誤解を招きます。 Euclid は「if… then…」タイプです。 $2^n - 1$が素数でない場合は保証しません 何もなく、$n = 4$ の場合、数値 120 は実際には完全ではありません。

確認するには、素数.

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質問 74: グラフの変換、反射、拡張

声明

次の画像を見てください。

画像に示されている関数のグラフに基づいて、次のように述べることは正しいです。

  • A) $w(x) = 2h(x)$ e $n(x) = -f(x - 4)$
  • B) $h(x) = f(x) - 2$ e $m(x) = f(x - 3)$
  • C) $w(x) = 2f(x)$ e $g(x) = f(x/2)$
  • D) $n(x) = -m(x + 1)$ e $g(x) = f(2x)$
  • E) $m(x) = f(x + 3)$ e $h(x) = f(x) + 2$

解決

1。参照関数 $f$。 グラフによると、$f$ は次の位置に頂点を持つ放物線です。 $(0, 1)$を経て$(3, -2)$で終わる$(1, 2)$。これにより、

$$f(x) = 2 - (x - 1)^2, \quad 0 \le x \le 3$$

($f(0) = 2 - 1 = 1$ と $f(3) = 2 - 4 = -2$ を確認してください)。

2。他の曲線を読み取る。

  • $h$ (水色): $f$ と同じ形状、頂点が $(1, 0)$ : $f$ 下降 2 単位、$h(x) = f(x) - 2$ です。
  • $w$ (薄オレンジ色): $(1, 4)$、$w(0) = 2$、$w(3) = -4$の頂点、$f$の各値を2倍にしたもの: $w(x) = 2f(x)$。
  • $g$ (赤): 頂点は $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$、始点は $(0,1)$、終点は $(1{,}5\text{; }-2)$: $f$ は水平方向に半分、$g(x) = f(2x)$ に「圧縮」されます。
  • $m$ (紫): $x = -3$ から $x = 0$ までの $(-2, 2)$ の頂点: $f$ 単位左に 3 シフトされた $m(x) = f(x + 3)$。
  • $n$ (黒): $(-3, -2)$ の頂点、$x = -4$ から $x = -1$ までの凹部が上になります。

3。代替案 D をテストします。 $m(x) = 2 - (x + 2)^2$ で:

$$-m(x + 1) = -\left[2 - (x + 3)^2\right] = (x + 3)^2 - 2$$

この放物線は$(-3, -2)$に頂点があり、$x = -4$では$-1$、$x = -1$では$2$の価値があります。 $n$ と全く同じです。そして、私たちはそれをすでに見てきました $g(x) = f(2x)$。 D の 2 つの等式は次のとおりです。 本当です。

4。他人が失敗する理由

  • A: $2h$ ではなく $w = 2f$ ($h$ の 2 倍は $(1, 0)$ に頂点を持ちます)。
  • B: $h = f - 2$ それは正しいですが、 $f(x - 3)$ に移動します 右; $m$ 左側にあります。
  • C: $w = 2f$ は正しいですが、$f(x/2)$ ではグラフが広がります。 $g$の方が幅が狭いです。
  • E: $m = f(x + 3)$ は正しいですが、$f + 2$ はグラフの上に移動します。 $h$ は 2 単位下です。

答え: 代替案D。

落とし穴に注意してください: 選択肢 B、C、E は一定の等価性を持ち、 もう一つ間違っています。古典的な信号が変化します: $f(x + 3)$ が左に進み、 $f(2x)$ グラフを水平方向に圧縮します。

確認するには、関数の概念.

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