三角形の 3 つの高さも、点 垂心 で交わります。興味深いことに、ユークリッドはこれを証明しませんでした。

発見者

原論 は、高さが同時であることを示していません。最初に知られている公開されたデモンストレーションは、イギリス人のウィリアム・ チャップルによる 1749 のものです。しかし、 最も引用されているのはカール・フリードリヒ・ ガウス (1810) によるものです。彼は各頂点に対して反対側に平行な線を描き、より大きな三角形を形成しました。元の三角形の高さは、大きい方の三角形の垂直二等分線となり、一致します。 垂心 (ギリシャ語の「まっすぐな」を意味するオルトスに由来) という名前は 19 世紀になって初めて作成されました。

カール・フリードリヒ・ガウス。
カール・フリードリヒ・ガウス。Christian Albrecht Jensen (1792–1870) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

ガウスの証明は、新しい問題をすでに解決済みの問題にどのように帰着させることができるかを示す良い例です。ガウスは高さを直接研究する代わりに、それらを 垂直二等分線 に変換しました。その競合相手であるユークリッドはすでに証明しています。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
3 つの高さは 垂心 にあります。それぞれが反対側に対して垂直です。
3 つの高さは 垂心 にあります。それぞれが反対側に対して垂直です。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。

垂心は、鋭角三角形の内側にあり、直角三角形の直角の頂点と一致し、鈍角三角形の外側に出るという興味深い動作をします。 1765 では、レオンハルト オイラー が、下記の好奇心旺盛な「オイラーの直線」で語られているように、重心 および 外心 と整列していることを発見しました。

レオンハルト・オイラー。
レオンハルト・オイラー。ヤコブ・エマニュエル・ハンドマン (1718–1781) · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

日常生活での応用

  • 屋根とスロープの高さ。 三角形の高さは現場で測定された垂直距離です。破風(三角壁)の面積は基準×高さを使用します。
  • 土地面積。 測量士は、三角形の敷地の面積を、基準として選択した辺の高さを下げて計算します。
  • 直角三角形 正方形では、高さのうち 2 つは垂直な辺そのものであり、垂心 は直線の角です。
  • トラス。 三角形の構造では、一辺に垂直な支柱が三角形の高さに従います。

出典: ガウス (MacTutor) · オイラー (MacTutor)。

理論と作図

定理高みからの競争

三角形の高さを支える 3 本の直線は同じ点で交差します。

デモ

  1. 頂点 $A$、$B$、$C$ を通して、反対側の辺に平行な直線を引き、$A \in \overline{NP}$、$B \in \overline{MP}$、$C \in \overline{MN}$ からなるより大きな三角形 $MNP$ を取得します。
  2. $APBC$ と $ABCN$ は平行四辺形なので、$AP = BC = AN$: $A$ は $\overline{NP}$ の中点になります。
  3. $\overline{AH_1} \perp \overline{BC}$や$\overline{NP} \parallel \overline{BC}$と同様に、線分$AH_1$は$\overline{NP}$の中点を通って垂直になり、$\overline{NP}$ の垂直二等分線になります。
  4. 同様に、$BH_2$と$CH_3$は$\overline{MP}$と$\overline{MN}$の垂直二等分線になります。
  5. 垂直二等分線 と $\triangle MNP$ は同時に実行されます (セクション III)。したがって、$\triangle ABC$ の高さ線は同じ点 $H$ を通過します。

定義垂心

ストレートハイトサポートの合流点は垂心です。

まとめ注目すべき4つのポイント

ポイント の会議 財産 位置
重心 $G$ 中央値 中央値を $2 : 1$ に分割します。重心 常に内部
内心 $I$ 角の二等分線 内部 側面から等距離にあります。登録センター 常に内部
外心 $O$ 垂直二等分線 頂点から等距離にあります。地区の中心 内部 (鋭角)、斜辺の中点 (長方形)、外部 (鈍角)
垂心 $H$ ハイツ — 内部（鋭角）、直角の頂点（長方形）、外部（鈍角）