Euler's Eyes
2026-10-15
定規とコンパスでレムニスケートを分ける
1694 年、ヤコブ・ベルヌーイは、横に寝かせた 8 の字の形の曲線を調べ、lemniscus、つまりリボン結びと名づけました。焦点を点 $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$ にとると、それは二つの焦点までの距離の積が $\frac12$ になる点の集まりです。方程式は
$$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$$で、極座標では $r^2=\cos2\theta$ です。一世紀半後、アーベルはこの曲線について、ユークリッドの本から出てきたような定理を証明しました。どんな数 $n$ なら、定規とコンパスだけでレムニスケートを長さの等しい $n$ 個の弧に分けられるのか。
弧の長さ
まず、曲線の一部分の長さはいくらでしょうか。極座標では、小さな弧は $ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2$ を満たします。$r^2=\cos2\theta$ を微分すると、
$$2r\,dr=-2\sin2\theta\,d\theta,\qquad\sin2\theta=\sqrt{1-\cos^22\theta}=\sqrt{1-r^4}$$なので、$d\theta=-\dfrac{r\,dr}{\sqrt{1-r^4}}$ であり、
$$ds^2=dr^2+\frac{r^4\,dr^2}{1-r^4}=\frac{dr^2}{1-r^4}.$$したがって、中心から、中心からの距離が $r$ の点までの弧の長さは
$$\boxed{s=\int_0^r\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.}$$これはレムニスケート積分で、レムニスケート正弦を定義するのと同じ積分です。言いかえれば、中心から弧に沿って $s$ の距離にあるレムニスケート上の点は、中心から $\operatorname{sl}(s)$ の距離にあります。レムニスケート正弦は、正弦が円に対してすることを、レムニスケートに対してするのです。中心から先端までの弧は $\frac\varpi2\approx1.3110$、曲線全体は $2\varpi\approx5.2441$ です。
1751 年のクリスマス
1718 年、イタリアの伯爵ジュリオ・ファニャーノは、レムニスケートの弧を定規とコンパスで2 倍にする方法を見つけました。ある弧が与えられたとき、その 2 倍の長さの弧を作図するのです。ほとんどだれも気にとめませんでした。1751 年 12 月 23 日、ベルリン科学アカデミーはファニャーノの著作をオイラーに渡し、意見を求めました。オイラーはそこにあるものをすぐに見抜き、ファニャーノの公式をこれらの積分の加法公式へと一般化しました。一世紀近くのち、ヤコビはその日を楕円関数の誕生日と呼びました。
八つに分ける
ファニャーノの公式を、レムニスケート正弦で書きましょう。
$$\operatorname{sl}(2u)=\frac{2\operatorname{sl}(u)\sqrt{1-\operatorname{sl}(u)^4}}{1+\operatorname{sl}(u)^4}.$$曲線を八等分するには、中心から先端までの弧を二等分する点を見つければ十分です。先端は $r=1$ にあるので、$\operatorname{sl}(2u)=1$ となる $s=\operatorname{sl}(u)$ を探します。
$$1+s^4=2s\sqrt{1-s^4}.$$両辺を 2 乗し、$w=s^2$ とおくと、
$$(1+w^2)^2=4w(1-w^2)\quad\Longrightarrow\quad w^4+4w^3+2w^2-4w+1=0.$$この多項式は完全平方 $(w^2+2w-1)^2$ です。よって $w^2+2w-1=0$ で、正の根は $w=\sqrt2-1$。求める点は中心から
$$\boxed{r=\sqrt{\sqrt2-1}\approx0.6436}$$の距離にあります。平方根しかふくまない数であり、平方根は定規とコンパスで作図できます。曲線の中心を中心とし、半径 $\sqrt{\sqrt2-1}$ の円を描くと、上の図の中ほどにある四つの点でレムニスケートと交わります。
アーベルの定理
ガウスは 1796 年、正十七角形が定規とコンパスで作図できること、さらに一般に、$n$ が 2 のべき乗と相異なるフェルマー素数（3、5、17、257、65537 など）の積であれば、円を $n$ 等分できることを証明していました。1801 年の本で、彼は謎めいた一文を残しています。同じ原理は積分 $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ にも当てはまる、と。それについて、彼はそれ以上何も発表しませんでした。
アーベルは発表しました。1827 年の『楕円関数の研究』で、彼は次のことを証明したのです。
レムニスケートは、円と同じ $n$ の値について、定規とコンパスで $n$ 個の等しい弧に分けることができる。
証明にはレムニスケート正弦の加法公式と二つの周期が使われ、今日虚数乗法と呼ばれる構造が最初に現れた場所の一つでもあります。逆、つまりそれ以外の $n$ では不可能であることは、1981 年になってようやくアメリカのマイケル・ローゼンが証明しました。
練習問題：長さ √(√2 − 1) を定規とコンパスで作図するにはどうするか。
一辺 1 の正方形の対角線は $\sqrt2$ です。そこから 1 を引くと $a=\sqrt2-1\approx0.4142$ が残ります。$a$ の平方根には相乗平均を使います。直線上に $AB=a$、$BC=1$ をとり、$AC$ を直径とする半円を描いて、$B$ で垂線を立てます。半円までの高さは $\sqrt{a\cdot1}=\sqrt a\approx0.6436$ です。理由はピタゴラスの定理での相似の議論と同じです。
練習問題：3 から 20 までのどの n について、レムニスケートを定規とコンパスで n 個の等しい弧に分けられるか。
値は 2 のべき乗と相異なるフェルマー素数の積で、$3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17$、$20$ です。外れるのは $7, 9, 11, 13, 14, 18$、$19$。9 は $9=3\cdot3$ でフェルマー素数 3 をくり返すので外れます。7、11、13、19 はフェルマー素数ではありません。
出典： Niels Henrik Abel、“Recherches sur les fonctions elliptiques”、Journal für die reine und angewandte Mathematik 2（1827）· Michael Rosen、“Abel’s theorem on the lemniscate”、The American Mathematical Monthly 88（1981）· Carl Friedrich Gauss、Disquisitiones arithmeticae（1801）、第 335 条。
ニールス・ヘンリック・アーベルの全トピック · ← 積分を逆にする：楕円関数 · アーベル群：順序が問題にならないとき →