公理と公準

この記事では、公理と公準とは何かについて説明します。次に、結果の実証について説明します。この原理は新しい数学の発展の基礎となります。

簡単に言うと、これは一連のステートメントとして理解でき、それぞれのステートメントは前のステートメント、または真実であるとわかっているものの結果です。別の結果として何かを構築するにはどうすればよいでしょうか?

B が前のステートメントの結果であるとします。前述のステートメントのうち、A というステートメントがあります。このようにして、次のようになります。

$$A \rightarrow B$$

LRグラフ; A[ A - ステートメント ] -->|それは暗示します| B(B - 結果) B --> C{決定} C -->|A は B を意味します| D[B - 結果]

推移的な関係

推移的な関係とは、次のような関係がある場合です。

$$A \rightarrow B \quad \text{e} \quad B \rightarrow C \qquad \text{implicam} \qquad A \rightarrow C$$

目的は、$A \rightarrow B$ が $B \rightarrow C.$ と同じ価値がある限り、$A$ が発生するたびに $C,$ が発生することを示すことです。

$A$、$A \rightarrow B$、$B \rightarrow C$ の価値があるとします。私たちが示したいのは、$A \rightarrow C$ に価値があるということです。このことから、次のことがわかります。

$A$、$A \rightarrow B$が有効なので、$B$が有効であることがわかります。
次に、$B$、$B \rightarrow C$ が有効であるため、$C$ が有効であることがわかります。
このようにして、$A \rightarrow C$ の価値があることがわかります。

他の投稿で以前に述べたように、この仮定が真実でない場合、結果は誤解を招く可能性があります。

この意見の世界では、一部の人にとって真実であることが、他の人にとっては真実ではない可能性があります。このため、真実かどうかの仮定を非常に正確に行う必要があります。

トートロジー

数学では、真理とは論理的に真であるものすべてであると想定できます。これはトートロジーです。

定義: すべての論理的可能性において真である命題はトートロジーと言われます。

定義: この命題がすべての論理的可能性に対して偽である場合、それは矛盾であると言われます。

投稿の真理値表では、命題 $p$ と $\sim p.$ が見られました。

これにより、$p$ がトートロジーである場合、$\sim p$ は矛盾であるか、その逆であることがわかります。

例: すべての命題 $p$ について、命題 $p \vee\sim p$ はトートロジーであり、$p \wedge\sim p$ は矛盾です。

実際、真理値表を見てください。

$p$	$\sim p$	$p \vee\sim p$	$p \wedge\sim p$
V	F	V	F
F	V	V	F

論理的等価性

数学では、等価性は「平等」に似ていますが、より一般的には、これは常に真実であるとは限りません。 2 組の方程式の解が同じである場合、それらは同等であるとみなされますが、必ずしも同じである必要はありません。

双子	等価な三角形

トートロジーを使用する必要がある場合は、論理的等価性を使用する必要があります。次にいくつかの用語を定義します。

定義: 2 つの命題は、同じ真理値表を持つ場合に論理的に同等であると言われます。

同様に、論理的可能性のそれぞれに対して同じ真理値を持ちます。

例: 命題 $\sim (p \vee q)$ と $\sim p \wedge \sim q $ は論理的に等価です。

実際、真理値表を見てください。

$p$	$q$	$p \vee q$	$\sim (p \vee q)$	$\sim p$	$\sim q$	$\sim p \wedge \sim q $
V	V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	F	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V

この投稿を読んでいる多くの人が話すでしょう。何？これはどういう意味ですか？この論理的等価性は何でしょうか?

最初の人が命題を言ったとします。

$$x-x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad 2 x + x \neq 4x$$

すると別の人が来てこう言います。

それは真実ではありません、または $$x-x= 0 \qquad \text{ou} \qquad 2 x + x = 4x$$

この場合、両方の人が同じことを言っています。つまり、次のようになります。

どちらも正しい、あるいは
どちらも間違っています。
この場合、2 番目の人の仮定は 1 番目の人の仮定と同じになります (真理値表の 2 行目)。

したがって、命題 $p$ と $q$ は論理的に等価であるため、$p \leftrightarrow q$ はトートロジーになります。逆に、$p \leftrightarrow q$ はトートロジーであるため、$p$ と $q$ は論理的に等価です。

2 つの命題が論理的に等価であれば、論理的な観点からはそれらは「同じ」であるため、論理的等価性は実証に非常に役立ちます。

仮定する：

2 つの命題 $p$ と $q$ は論理的に等価です。
$p$ を実証する必要があり、$q$ を実証するより簡単な方法がある場合。
次に、$q$ を証明することで $p$ を証明できます。

条件付き、コントラポジティブ、レシプロカル

いくつかの用語は結果を示すために非常に重要です。 条件付きとは何ですか？

定義: 条件文は、命題内で接続詞を使用するときに実行される演算です。

もし…

それから…

コンピューティングでは、条件付きの概念が広く使用されています。

この演算子を表すには、$\rightarrow$ という記号を使用します。このような、

$p \rightarrow q$ は「p であれば q」を意味します。

このようにして、次の定義が得られます。

定義: $p \rightarrow q$ が条件式の場合、$\sim q \rightarrow \sim p$ は逆肯定条件式と言われます。

この定義は論理的に等価です。したがって、$p \rightarrow q$ が条件であり、この結果を示すことが目的の場合は、単純に次のように正のカウンタを示します。

論文を否定します $q$
これは、非仮説 $p$ (これを不条理と呼びます) を意味します。

口語的には、数学ではこれを不条理による証明と呼びます。

同様に、次のように定義できます。

定義:

$q \rightarrow p$ が逆数の条件式だと言われます。

このように、$\sim q \rightarrow \sim p$ は条件付き逆であると言われます。