Euler's Eyes
2026-10-11
セグメントの合同性
2 つのセグメントは、一方を他方の上に「配置」できる場合に合同になります。これは、目盛定規を必要とせずに、それらが同じサイズであることを示す幾何学的な方法です。
発見者
ユークリッドは、原論 の冒頭でこのテーマを扱いました (紀元前 300 頃)。彼の共通概念 4 は「互いに一致するものは等しい」 と述べており、命題 I.2 と I.3 は、セグメントを転送する方法と、より大きなセグメントからより小さなセグメントと等しい部分を切り出す方法を示しています。最も興味深いのはツールです。ユークリッドは紙から離れると「閉じる」コンパスのみを認め、それでも距離をコピーできることを証明しました。
歴史
ギリシャの幾何学では、長さは数字と比較されませんでした。 2 つのセグメントは等しいか、大きいか小さいか、マークのない定規とコンパスを使用して決定されました。セグメントを追加すると、セグメントが次々に配置されます。一方を他方から取り出すということは、重ね合わせて何が残っているかを見ることを意味しました。
この作業方法には利点があります。結果は、どの単位の正確な倍数でもない長さであっても、あらゆる測定単位に対して有効です。この問題はギリシャ人がよく知っていました。 ヒルベルト (1899) の公理学では、線分の合同は独自の公理を持つ原始的な用語になりました。
日常生活での応用
- 乾点コンパス。 木工職人や鍵屋は、数字を読まずに、ある部品から別の部品に測定値をコピーします。これは、作業場における I.2 の命題です。
- 型紙を縫います。 型紙に従って生地を縫い合わせると、2 つの袖が一致するようになります。
- 交換部品 「標準」ネジは、寸法が元の部品の寸法と一致しているため、どの機械にも適合します。
- 等しい板を複数切ります。 大工は最初の板の寸法を測り、その板自体を他の板のテンプレートとして使用します。
出典: 要素、命題 I.2 · 要素、命題 I.3 · Euclid (MacTutor)。
理論と作図
線分（記号$\equiv$） の合同は原始的な概念です。直観的には、一致するセグメントは「同じサイズ」であり、一方を他方に引き継ぐことができます。それは次の公準に従います。
公準セグメントの合同性
- 反射: すべてのセグメントはそれ自体と合同です: $\overline{AB} \equiv \overline{AB}$。
- 対称: $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$ の場合は $\overline{CD} \equiv \overline{AB}$。
- 推移: $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$ と $\overline{CD} \equiv \overline{EF}$ の場合、$\overline{AB} \equiv \overline{EF}$。
- セグメントの輸送: セグメント $\overline{AB}$ と原点光線 $A^{\prime}$ が与えられると、この光線上には $\overline{A^{\prime}B^{\prime}} \equiv \overline{AB}$ などの単一 点 $B^{\prime}$ が存在します。
運ぶことはコンパスを使って行うことです。セグメントのサイズにコンパスを開き、別の点からそのサイズをマークします。
セグメント比較
$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ が与えられた場合、$\overline{CD}$ を光線 $\overrightarrow{AB}$ に移送し、$\overline{AP} \equiv \overline{CD}$ で点 $P$ を取得します。次の 3 つの可能性があります。
| $P$の位置 | 結論 |
|---|---|
| $P$ は $A$ と $B$ の間です | $\overline{AB}$ は $\overline{CD}$ より大きいです: $\overline{AB} > \overline{CD}$ |
| $P$ は $B$ と一致します | $\overline{AB}$ は $\overline{CD}$ と一致します: $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$ |
| $B$ は $A$ と $P$ の間です | $\overline{AB}$ は $\overline{CD}$ より小さいです: $\overline{AB} < \overline{CD}$ |
セグメントの追加
定義和、倍数、約数
$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ が与えられた場合、原点光線 $R$ 上の隣接する セグメント $\overline{RP} \equiv \overline{AB}$ と $\overline{PT} \equiv \overline{CD}$ を取得します。セグメント $\overline{RT}$ は、$\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ の合計です。
$$\overline{RT} = \overline{AB} + \overline{CD} \qquad\text{e também}\qquad \overline{RT} = \overline{RP} + \overline{PT}.$$$\overline{AB}$ と合同な $n$ 個のセグメントの合計であるセグメント $\overline{RS}$ は、$n$: $\overline{RS} = n \cdot \overline{AB}$ によれば $\overline{AB}$ の倍数です。この場合、$\overline{AB}$ は $\overline{RS}$ の 2 番目の $n$ の約数です。