Euler's Eyes
2026-10-19
循環機能: 波を起こすホイール
インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 2 章を完了.
観覧車小屋
中心が高さ 0、半径が 1 の観覧車を想像してください。キャビンが回転すると高さが変わります。水平位置も変わります。これら 2 つの測定値に名前を付けてみましょう。
サイクル上の点の座標は $P=(x,y)$ です。回転角度$\theta$に対して、$\cos\theta=x$と$\operatorname{sen}\theta=y$を定義します。 コサイン は水平位置です。 正弦、符号付きの高さ。左側では、$x$ は負です。中央より下の $y$ はマイナスです。
関数 は、ドメイン内の各入力を 1 つの出力に関連付けるルールです。サインとコサインの場合、任意の実数をラジアン単位で入力できます。出力は $-1$ と $1$ の間です。
ホイールからグラフへ
表を作成し、角度を横軸に、関数の値を縦軸に配置します。
| スピン | $0°$ | $90°$ | $180°$ | $270°$ | $360°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 正弦 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| 余弦 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
これらの点の間で、値は継続的に変化します。滑らかな曲線を描きます。次に、別のラウンドで描画を繰り返します。入力の同じ正のシフトがすべての値を繰り返す場合、 関数は周期的です。これらのシフトの中で最も小さいものが存在する場合、それが基本周期です。
デモンストレーション: なぜ波は繰り返されるのでしょうか?
一回転すると、キャビンは同じポイントに戻ります。したがって、その 2 つの座標は前の座標と同じです。
$$\operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta.$$1 回転未満の正の回転では、すべての点の水平位置が維持されます。特に、コサインは 1 回転完了した後でのみ 1 に戻ります。正弦波の場合、その最大値 1 は 1 回完全に回転した後にのみ再表示されます。したがって、両方とも基本周期 $2\pi$ を持ちます。
その他4つの機能
タンジェント は高さと水平位置を比較します。
$$\tan\theta=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}.$$コサインがゼロの場合は存在しません: $\theta=\pi/2+k\pi$。ゼロで割っても数値は得られません。接線には周期 $\pi$ があります。半回転後、2 つの座標の符号が変わり、それらの商は変わりません。
3 つの機能がこのファミリーを完成させます。
| 関数 | 定義 | それが存在しないとき |
|---|---|---|
| コタンジェント | $\cot\theta=\cos\theta/\operatorname{sen}\theta$ | $\theta=k\pi$ |
| 乾燥 | $\sec\theta=1/\cos\theta$ | $\theta=\pi/2+k\pi$ |
| コセカント | $\csc\theta=1/\operatorname{sen}\theta$ | $\theta=k\pi$ |
ここおよび本書の残りの部分では、$k$ は任意の整数を表します。コタンジェントには期間 $\pi$ があります。セカントとコセカント、$2\pi$。サインとコサインはゼロになる可能性があります。それらの逆数は決してゼロにはならず、少なくとも 1 の係数を持ちます。
より大きな車輪
地面から半径を4m、中心を6mとすると、キャビンの高さは$h(\theta)=6+4\operatorname{sen}\theta$となります。最小値は$6-4=2$ m、最大値は$6+4=10$ mです。 4という数字は6 を中心とした振動の振幅です。 $f(t)=\operatorname{sen}(2t)$ では、ラジアン単位の $t$ を使用すると、周期は $\pi$ になります。$2t$ が $2\pi$ を増加させるだけです。
日常生活での応用
- 観覧車。 サンパウロにあるロダ リコは高さ 91 m です。乗り物に沿った各キャビンの高さは正弦波です。
- 遊び場のブランコ。 ブランコは常に同じリズムで前後に動き、その位置は周期関数として繰り返されます。
- その日の気温 気温は 24 時間の周期で上下し、寒冷前線のない日は波のように見えます。
練習問題
ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。
1. $270°$ のサインとコサインを与えます。
解像度 1 を参照
ポイントは$(0,-1)$：$\operatorname{sen}270°=-1$と$\cos270°=0$です。
2. $\tan90°$ はありますか?説明する。
解像度 2 を参照
いいえ。式は $1/0$ になりますが、これは定義されていません。
3. サインとコサインが $\sqrt2/2$ の場合、タンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントを計算します。
解像度 3 を参照
商は 1 です。逆数は $2/\sqrt2=\sqrt2$ です。
4. $\cos(3t)$ の基本周期は何ですか?
解像度 4 を参照
$2\pi/3$、つまり $3(t+2\pi/3)=3t+2\pi$。
5. 中心が6 m、半径が4 mの車輪の場合、$270°$の高さはいくらですか?
解像度 5 を参照
$h=6+4(-1)=2$ m.
6. $0°$ と $360°$ の間で端も含めてどの角度でコセカントが存在しませんか?
解像度 6 を参照
$0°$、$180°$、$360°$。これらの角度では正弦がゼロになるためです。