Euler's Eyes
2026-09-26
OBMEP 2023 – 第 2 フェーズ – レベル 3: 完全解決
公式資料: 完全な証拠 · OBMEP ソリューション · 年間コレクション。
以下の決議は、公式ノートブックの番号に従っています。テストを開いて、ステートメント、代替案、図に従ってください。ここでの説明には著作権があります。答えを確認する前に、各質問に答えてください。
質問 1 — カードとマルチプル
a) 1 つの可能性は $6,2,4,8,1,9,3$ です。ペアを確認すると、すべてのペアで割り切れます: 6 と 2、4 と 2、8 と 4、8 と 1、9 と 1、および 9 と 3。
b) 8 枚のカード: $9,3,6,2,4,8,1,5$。繰り返される番号はなく、隣接する各ペアはルールを満たします。
c) $5,1,7$ またはその逆の順序を使用します。利用可能なカードのうち、5 のネイバーになれるのは 1 だけ、7 のネイバーになれるのは 1 だけです。
d) 9 枚のカードを使用する場合、5 と 7 が端にあり、両方とも 1 に接続されている必要があります。しかし、これはセクション全体 $5,1,7$ を形成し、別のカードを接続する可能性はありません。1 にはすでに 2 つの隣接カードが存在します。したがって、9 に順序はありません。
質問 2 — 色付けのルール
両方のルールを使用します。5 を追加すると色が保持されます。白色製品には少なくとも 1 つの白色因子が必要です。
a) $38-3=35$ は 5 の倍数です。 5から5まで7回遡ると3 が白であると結論付けられます。
b) $4=2\cdot2$ が白の場合、因子 2 の 1 つは白でなければなりません。同じなので2 は白です。
c) 1 が白の場合、最初のルールにより、16 も白になります。 b と同様の論拠により、$16=4^2$ として4 は白となります。
d) 2 つの意味を示しましょう。 3が白であれば、8も白になります。 $8=2\cdot4$ では、2 が直接白になるか、4 が白になり項目 b が 2 を強制的に白になります。逆に、2 が白であれば、12 も白になります。 $12=3\cdot4$では、3が白、または4が白になります。最後のケースでは、9 は 4 と 5 が異なり、$9=3^2$ により 3 が白になります。したがって2 は、3 が白である場合にのみ白になります。それ以外の場合は両方とも黒になります。
質問 3 — 最も近いアンテナ
道路を横軸として考えてみましょう。アンテナまでの二乗距離は $d_C^2=(x-2)^2+1$ と $d_D^2=(x-5)^2+4$ です。
a) $x=3$ では、これらの値は 2 と 8 です。この関数は最小値 $f(3)=2$ を選択します。
b) 距離を等しくするには、距離の 2 乗を等しくします: $(x-2)^2+1=(x-5)^2+4$。 $x^2$をキャンセルすると$6x=24$が得られるので**$x=4$**となります。
c) 差分 $d_C^2-d_D^2=6x-24$ の符号が 4 に変わります。ロゴ
$$f(x)=\begin{cases}(x-2)^2+1,&0\le x\le4,\\(x-5)^2+4,&4質問 4 — エレベーターの選択
1 階から 4 階までの独立した確率の高い目的地を採用しましょう。 3人は$4^3=64$モードから選択可能。
a) 単一の共通ターゲットの場合、$4/64=1/16$ の 4 つの選択肢があります。
b) 1 階に立ち寄らないことを数えるのは簡単です。各人には 3 つの目的地があり、合計 27 件になります。つまり、 そこで止まる可能性は**$1-27/64=37/64$**です。
c) 連続する 3 つのストップは $\{1,2,3\}$ または $\{2,3,4\}$ です。各セットでは、$3!=6$ のオーダーで 3 人が異なる目的地を選択できます。チャンスは**$2\cdot6/64=3/16$**です。
公式ガイドも、1階を目的地として検討することに同意しています。この解釈では $5^3=125$ 個の選択肢があります。応答はそれぞれ**$1/25$、$61/125$、$18/125$**となります。どのサンプル空間が使用されているかを宣言する必要があります。
質問 5 — シリンダーに貼られた三角形のステッカー
側面を幅12cm、高さ15cmの長方形に開きます。 1 回転するたびに、ステッカーは水平ベース上で 12 cm 進みます。
a) ベース 10 には、完全なターンやオーバーラップはありません。サーフェスの寸法は $12\cdot15=180$、三角形の寸法は $10\cdot15/2=75$ です。発見されたエリアは**$105\text{ cm}^2$**です。
b) ベース 60 の場合、ターンごとにステッカーの高さが $15\cdot12/60=3$ cm 減少します。最初のラウンドでは、これから説明するすべての内容がすでにカバーされています。残りはその下に重なります。残るのは底辺が12、高さが3、 面積が**$18\text{ cm}^2$**の三角形です。
c) ベース 90 の場合、1 ターンあたりの高さの減少は $15\cdot12/90=2$ cm です。 2 層、3 層、および 4 層間の境界は平行です。正確に 3 つの層を持つストリップは、水平の底辺 12 と垂直の高さ 2 を持つ平行四辺形です。エリアは**$24\text{ cm}^2$**です。
質問 6 — ボードとパリティ
0で白、1で黒を表します。要件は、各サブボード $3\times3$ の合計が奇数であることです。
a) 最後の行のハウス K、L、M、N の場合、 4 つの可能性はBBPP、BPBP、PBBB、PPPB です。 K と L を自由に選択すると、左側のブロックのパリティによって M が固定され、右側のブロックのパリティによって N が固定されます。
b) $3\times4$ ボードの最初の 2 列の 8 マスと、3 列目の最初の 2 マスを選択します。残りの 2 つは、条件 $3\times3$ ごとに 1 つずつ、強制されます。 $2^{10}=1024$ の絵画があります。
c) $4\times4$ で、最初の 2 行と他の行の最初の 2 列を選択します。これらは $8+4=12$ の二項選択肢です。各行を左から右に完成させ、新しい家で終わるブロックと同等の値を入力します。合計は**$2^{12}=4096$**となります。
d) $2023\times2023$ では、同じ手順で $2\cdot2023+2\cdot2021=8088$ のスペースが空きます。残りの各正方形は、その右下隅にあるブロック $3\times3$ によって決まります。適用されない条件はなく、ボックスが 2 回決定されることはありません。したがって合計は**$2^{8088}$**となります。
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