Euler's Eyes
2026-10-15
一般化する文字：3 + 5 = 5 + 3 から a + b = b + a へ
$3+5$ と $5+3$ を計算してみましょう。どちらも $8$ です。$12+7$ と $7+12$、$100+1$ と $1+100$ も試してください。いつもうまくいきます。でも、確信するには例がいくつ必要でしょうか。千個？百万個？いくつあっても足りません。数の組は無限にあるからです。
文
$$a+b=b+a$$は、この問題を別のやり方で解決します。特定の組については何も言わず、すべての組について一度に語るのです。ここでの文字 $a$ と $b$ は、未知数のように値を隠してはいません。どんな値でも表します。ユーシスキンが一般化された算術と呼んだのはこれです。
数を一つ思い浮かべて
パーティーの古い手品です。数を一つ思い浮かべ、2 倍し、$6$ を足し、$2$ で割り、最初に思い浮かべた数を引きます。答えはいつも $3$ です。
例を使えば自信はつきます。$5$ なら $10$、$16$、$8$、$3$。$20$ なら $40$、$46$、$23$、$3$。文字を使えば確信できます。その数を $n$ と呼びましょう。
$$n\ \to\ 2n\ \to\ 2n+6\ \to\ \frac{2n+6}{2}=n+3\ \to\ (n+3)-n=3.$$文字は、例にはできないことをしました。すべての数を一度にたどったのです。そして手品がなぜうまくいくかも見せました。思い浮かべた数は入ってまた出ていき、$6$ を $2$ で割ったものだけが残るのです。
手品を一歩ずつ（クリックで進む）
- 数を一つ思い浮かべる：$n$。
- 2 倍する：$2n$。
- $6$ を足す：$2n+6$。
- $2$ で割る：$n+3$。
- 思い浮かべた数を引く：$(n+3)-n=3$。$n$ は消えた。答えは $n$ によらない。
奇数の和
はじめのほうの奇数を足していきます。$1=1$、$1+3=4$、$1+3+5=9$、$1+3+5+7=16$。平方数が現れます。これをすべての $n$ について言うには、文字が必要です。
$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$式 $2n-1$ は $n$ 番めの奇数の肖像です。$n=1$ なら $1$、$n=4$ なら $7$ になります。証明は、別の文字と逆向きに書いた和で、少年ガウスのようにできます。並びを、逆にした自分自身と足すと、どの組も $2n$ になり、組は $n$ 個あるので、和の 2 倍は $2n\cdot n$、和は $n^2$ です。
例がだますとき
例は危険なこともあります。1772 年、オイラーは式
$$n^2+n+41$$が $n=0, 1, 2, 3, \dots$ で素数になることに気づきました。$41$、$43$、$47$、$53$、$61$、$71$……。$n=39$ まで試しても、すべて素数です。四十の例が続くのです！ところが $n=40$ では
$$40^2+40+41=1681=41^2$$となり、素数ではありません。文字で書けば、計算しなくても失敗が見えます。$n=40$ のとき、$n^2+n+41=n^2+n+(n+1)=n(n+1)+(n+1)=(n+1)^2$。文字は一般化するだけではありません。一般化がどこで破れるかも見せてくれます。
ヴィエトの「種」
この考えを方法に変えたのは、1591 年のフランソワ・ヴィエトでした。彼は文字による計算を logistica speciosa、種（species）による計算と呼び、数による計算 logistica numerosa と対比させました。ヴィエトにとって種とは一般的な形のことで、「馬」という種がすべての馬を含むようなものです。彼の大きな革新は、既知の量にも文字を使ったことでした。こうして一つの方程式が問題の一つの族全体を表せるようになり、それを解くことは、すべてを一度に解くことになったのです。
記号論的に言えば、一般化する文字はパースの意味でのシンボルですが、特別な種類のものです。一つの対象ではなく、対象のクラスを表し、そのクラスのどの成員もその場所に入ることができます。文字を使った文は約束のようにはたらきます。「好きな数を選びなさい。等式は正しいままです」。
練習：二つの奇数の和が偶数であることを文字で証明する
任意の奇数は $2m+1$、もう一つは $2n+1$ と書けます。$m$ と $n$ は任意の整数です。和は $2m+2n+2=2(m+n+1)$ で、整数の 2 倍なので偶数です。二つの違う文字が必要なことに注意してください。一つだけ、$2n+1$ と $2n+1$ にすると、奇数の 2 倍が偶数であることしか証明できません。
練習：いつも 5 で終わる手品をつくる
一つの答え。数 $n$ を思い浮かべ、$4$ 倍し、$20$ を足し、$4$ で割り、思い浮かべた数を引く。$\frac{4n+20}4-n=n+5-n=5$。一般のレシピは、$k$ 倍し、$5k$ を足し、$k$ で割り、$n$ を引くことです。文字は、この手品がどんな $n$ でも、どんな $k\ne0$ でもうまくいくことを示しています。