九九を見たグループ

4 つのボールからなる 3 つのグループ、合計 12 個。
4 から 4 までをカウントします: 4、8、12。 3 × 4 を見つけました!
4 つのボールが 3 列に並んでいます。
列をカバーする: ボールは何個ありますか? 2 × 4 = 8 となる理由を説明してください。
発見をチェックしてください

13 = 8 + 4 + 1。 48 + 24 + 6 = 78 を加算します。 2グループラインにはこの合計は入りません。

今回は自然数の掛け算についてお話します。乗算は加算の特殊なケースであることを覚えておく価値があります。実際には、同じ量を追加するだけです。

掛け算は初級レベルで 3&#176 から教えられます。小学校の年。この主題は、エジプト人、東洋人（日本と中国）、ヒンズー教徒によって研究されました。

書き込み ライティングの芸術
西洋の文章。 東洋的な文章。

均等分割払いを追加すると、特に 2 倍、3 倍などの概念が生まれます。

  • ダブル\(a\)は\(2a = a + a\)です

    - ダブル\(2\)は\(2~.~2 = 2 + 2 = 4\)です

  • \(a\)の3倍は\(3a = a+ a+ a\)

    - \(5\)の3倍は\(3~.~5 = 5 + 5 + 5 = 15\)

  • 等々。

つまり、自然数 \(a\) に自然数 \(n\) を掛けます。つまり、\(a\) に等しい \(n\) の分割払いを追加します。

$$na = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes} }$$$$n~.~a = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes}}$$$$n\times a = \underbrace{a+a+\dots+a}_{\text{n vezes}}$$ 化学への応用

\(7\)の4倍は\(4~.~7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28\)です。

視覚的方法（正方形）を使用した乗算方法は次のとおりです。

  • a 辺の正方形の数字を取ります。
  • 辺bの正方形の数を掛けます。
  • 結果は、完全な正方形の正方形を数えることから得られます。
化学への応用

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乗算プロパティ

トラクターを注文しても高架橋は変更されない、という話を聞いたことがありますか?

高架橋 トラクター
西洋の文章。 東洋的な文章。

しかし、これは乗算と何の関係があるのでしょうか?真実の文は、因子の順序によって積が変わるわけではないということです。

  • Impa ポータル: 長方形に配置されたオブジェクトを数える乗算

可換性の性質

化学への応用

これは次のことを意味します:

$$3\times 5 = 5 \times 3 = 15$$

一般的に：

$$a\times b = b \times a \quad \text{para quaisquer números naturais a e b.}$$

この性質は可換性質です。

乗算とは、点の長方形を数えるということです。可換性を確認するには回転し、分配性を確認するには分離します。

分配財産

財産 分配的
西洋の文章。 東洋的な文章。

この図から、分配特性が次のとおりであることがわかります。

$$ \begin{aligned} c\times a &= 3\times 4 = 12\\ c\times b &= 3\times 5 = 15\\ c\times (a+b) &= 3\times (4+5) = 3\times 9 = 27\\ c\times (a+b) &= (c\times a) + (c\times b) = 27\\ \end{aligned} $$

したがって：

$$c\times (a+b) = (c\times a) + (c\times b) \quad \text{para quaisquer números naturais a, b e c.}$$
  • Impa ポータル: 分配プロパティ

関連プロパティ

連想特性は直方体型の配置から得られます。

敷石 石畳エリア
西洋の文章。 東洋的な文章。

直方体の寸法は辺a、b、cで与えられます。直方体の面積は次の式で与えられます。

$$A_{\text{paralelepípedo} } = a\times b\times c = (a\times b)\times c = a\times (b\times c) $$

したがって：

$$a\times b\times c = (a\times b)\times c = a\times (b\times c) \quad \text{para quaisquer números naturais a, b e c.}$$

電力特性

電力特性は、繰り返された値の乗算から取得されます。例えば：

$$ \begin{aligned} 2\times 2 &= 2^2 = 4\\ 3\times 3 &= 3^2 = 9\\ 2\times 2 \times 2 &= 2^3 = 8\\ 3\times 3 \times 3 &= 3^3 = 27\\ 4\times 4 \times 4 \times 4 &= 4^4 = 256\\ \end{aligned} $$
$$\underbrace{a \times a \times\dots \times a}_{\text{a multiplicado n vezes} } = a^n \quad \text{a multiplicado por ele mesmo n vezes}$$

平方根特性

現在の教育は、時間の経過とともに情報が失われるプロセスに基づいています。の 子どもたちは完全に間違った方法で学習したり、多くの情報を失ったりします。たとえば、次のような情報 子どもたちから聞いたのですが、数値の平方根は非常に難しいということです。しかし全く逆の「NO」です。

言葉

  • 平方根

ラテン語で表すと、

  • 広場の側面

たとえば、\( \sqrt{4}=2\) を例にとると、答えはモジュールにあります。ただし、この時点では負の数については認識していませんでした。 これは時間の経過とともに失われてしまった情報、つまり不毛な表記になってしまったものです。読者は次のことがわかります。 記号論的に能動的な表記法は、数学の進歩のために進化した表記法です。

ラテン語 (ラテン語) の観点から見た平方根

方形基 4 等号 2

これを次のように翻訳します。

面積4の正方形の一辺は2に等しい

平方根表現

前述したように、情報は時間の経過とともに失われてしまいました。

方形基 4 等号 2

rad クワッド 4 aq 2

ラ・クア 4 アック 2

r q 4 aq 2

突然、r が数字を飲み込みます。

$$ \sqrt{4}=2$$

九九

九九は今で言う九九であり、小学校教師にとっては拷問の武器となっている。しかし、現代の教師たちはそれを悪ではなく常に良い方向に利用してきました。次の図は、1 から 10 までの乗算表を示しています。

導入セクションで述べたように、行と列を掛けた対角線は、他の数学者が平方根 (正方形の辺) として使用したものであることに注意してください。実際:

$$\text{radix quadratum (lado do quadrado)}~ 4~\text{aequalis (igual)}~2 \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{4}=2$$

数学は魔法ではなく芸術であり、小学校で暗記するものではありません。九九で芸術を観察するにはどうすればよいでしょうか?

※九九の対角は2によるべき乗の性質で構成されています。

  • パワープロパティ $$2^2 = 4, \quad 3^2=9, \quad 4^2 = 16, \quad \dots 9^2=81$$ ※2九九は偶数のみで構成されています。 ※3は偶数と奇数の間に挟まれます。 ※4の場合は、ペアだけでなく、2の九九の2倍になります。 ※5の末尾は0または5となります。 ※6のものは、偶数と奇数の間に点在していることに加え、3の九九の2倍になっています。 ※7の場合は、6の乗算表に乗算する行を加算するだけです。 ※8の九九は、2、4の九九と同じ性質を持ち、4の九九の2倍になります。 ※ 最後に9、10は0から増加し、単位は9から減少します。

特に 9 九九:

$$\text{unidades:} ~~ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow \dots \rightarrow 9$$

$$\text{dezenas:} ~~ 9 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow \dots \rightarrow 0$$

たとえば、\(9\times 7\) の場合は次のようになります。

$$\text{unidades:} ~~ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6$$ $$\text{dezenas:} ~~ 9 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3$$

したがって、結果は次のようになります。

$$9\times 7 = 63$$

乗算アルゴリズム

次に、いくつかの乗算アルゴリズムを紹介します。数学ではさまざまな計算方法があり、選択はそれを使用する人次第であるため、どちらを選択するかはユーザー次第です。

  • Impa ポータル: 乗算

分解方法

次に分解アルゴリズムを紹介します。このために、10 x 273 を取得し、次の方法を観察します。

$$ \begin{aligned} 10\times 273 &\overset{\text{decomposição} }{=} 10\times (2\times 100 + 7\times 10 + 3)\\ &\overset{\text{distributiva} }{=} 2\times 1000 + 7\times 100 + 3\times 10\\ &= 2730 \end{aligned} $$

さて、伝統的な学校で教えられる方法の動機となる次の例を見てみましょう。

$$ \begin{aligned} 35\times 273 &\overset{\text{decomposição} }{=} (\underbrace{3\times 10}_{30} + 5) \times 273\\ &\overset{\text{distributiva} }{=} (3\times 10\times 273) + (5\times 273)\\ &= 8190 + 1365\\ &= 9555 \end{aligned} $$

改造された分解方法

次に、改造された分解アルゴリズムを紹介します。このために、35 x 273 を取得し、次の方法を観察します。

子どもたちが理解しやすいように、教師はゼロを削除し、空白に置き換えます。

  • Impa ポータル: 2 桁の掛け算

エジプト人の掛け算

エジプトの番号付けシステムは、順序が重要ではないという意味で象徴的でした。これは、数が非常に多い場合には不利になります。主な算術演算は、連続 2 倍算によって実行される加算と乗算でした。

演算は合計から導出されます。より具体的には、乗算は、2 つの列を使用する場合に量を連続して 2 倍にすることによって得られます。 1 つ目は、計算したい製品係数の 1 つです。アルゴリズムは以下のとおりです。

  • テーブルの各行には、前の行の 2 倍の値が入力されます。
  • 左側の数値は乗算する数値を超える必要はありません。最も近い値を取得する必要があります。
  • 連続して複製した後、右側の列を追加します。ここで、左側の列の対応する値が乗算される数値に達します。

例: 次に 21 x 37 を計算します

$$2^{\text{número da linha}}$$ $$\text{Valor multiplicado}~\times 2$$
1 37
2 74
4 148
8 296
16 592

左の列では 1 + 4 + 16 = 21 であることに注意してください。右の列は 37 + 148 + 592 = 777 です。したがって、

$$21 \times 37 = 777$$

これは神秘主義ですか？

このエジプトの方法が正しいのかどうか疑問に思う人は少なくありません。しかし、これは事実でしょうか？

私、オイラーは数学者として、それが真実であることを示さなければなりません。実際には：

Teorema: 1 (1) より大きい整数 b (基数) が与えられると、各正の整数 a は次のような一意の方法で記述できることがわかります。

$$a = a_n~.~b^n + a_{n-1}~.~b^{n-1} + a_{n-2}~.~b^{n-2} + \dots + a_{2}~.~b^{2} + a_{1}~.~b^{1} + a_0$$

ここで、各 \(a_i\) は範囲 \([0,b)\) に属し、\(a_n\) は非ゼロであり、n はゼロ以上です。

一般性を失わずに、二進法、つまり基数 2 で分解します。このようにして、以下が得られます。

$$a = a_n~.~2^n + a_{n-1}~.~2^{n-1} + a_{n-2}~.~2^{n-2} + \dots + a_{2}~.~2^{2} + a_{1}~.~2^{1} + a_0~.~2^0$$

自然数を基数 2 に分解すると、\(a_i\) は区間 \([0,2)\) に属するため、現れる係数は 0 または 1 の 2 値になります。これは、2 の約数は、数値が奇数の場合は 1 の余りを、偶数の場合は 0 の余りを意味するためです。 0 と \(n\) の間のすべてのインデックス \(i\) に対して \(a_i=0\) または \(a_i=1\) のようにします。

例に戻って、次の点を観察してください。

$$21=16+4+1=1~.~2^4 + 0~.~2^3 + 1~.~2^2 + 0~.~2^1 + 1~.~2^0$$

ここで、次のように計算します。

$$21 \times 37 = (16+4+1)\times 37 = 592+148+37=777$$

ルーカス・パチョーリが採用した乗算

ムルティプリカ

ルーカス・パチョーリの主な仕事は次のとおりです。

乗算の手順

$$23\times 12 = 276$$

この計算の手順は次のように行われます。

  • 行と列を掛けます。たとえば、最初の行には \(1\times 2 = 02\) と \(1\times 3 = 03\) があります。

  • 同様に、2 行目には \(2\times 2 = 04\) と \(2\times 3 = 06\) があります。

  • 対角線を追加すると、最初の対角線は \(0\)、2 番目の対角線は \(0+2+0=2\)、3 番目の対角線は \(3+0+4=7\)、最後の対角線は \(6\) になります。

  • したがって、\(0276\)、つまり \(23\times 12 = 276\) になります。

このテクニックはジェロシアとして知られるようになりました。ルーカス・パチョーリは次のように述べています。

また神秘主義？

ルーカス・パチョーリの例に戻ると、次のようになります。

数字を細分化する 百 10 ユニット
$$20\times 10=$$ 2 0 0
$$3\times 10=$$ 0 3 0
$$20\times 2=$$ 0 4 0
$$3\times 2=$$ 0 0 6
合計 2 7 6

Visual Pacioli法（日本法）

より教育的にするために、パチョーリのメソッドを理解するためにいくつかの YouTube ビデオが使用されました。ここでは、Luciana Fernandes 教授によるビデオを使用します。

例として、\(12 \times 12\) の乗算を取り上げます。

12の構築 12x12 の構造

乗算を実行するには、百、十、単位の交差を分離する必要があります。

  • ユニットの交差 (右側)、合計 4 個の交差があります。
  • 10 個の交差点 (中央)、合計 4 個の交差点があります。
  • 100 個の交差点 (左側)、合計 1 個の交差点があります。
  • 結果 144。
結果

重要なことは、数学の記号論を観察することであり、ペットのように暗記しないことです。

トレーニング

練習する時間です！答えて、獲得する星の数を確認してください。

トレーニング用の九九。難しい2桁の掛け算。