Euler's Eyes
2026-10-14
正方形と長方形でする代数
直線が任意に分けられるならば、全体の上の正方形は、それぞれの部分の上の正方形と、二つの部分にはさまれた長方形の二倍との和に等しい。
— ユークリッド『原論』命題 II.4
ギリシャ人には、未知数を表す文字も、プラスやマイナスの記号も、等号もありませんでした。$a\cdot b$ のことを話したいときは、辺が $a$ と $b$ の 長方形 の話をし、$a^2$ のことを話したいときは、辺が $a$ の 正方形 の話をしました。べき乗に使う「平方」や「立方」という言葉はここから来ています。『原論』の第二巻はまるごとこのやり方で書かれていて、面積についての事実として述べられ証明された代数の恒等式でできています。歴史家はそれを 幾何学的代数 と呼びます。
和の平方
引用の命題 II.4 はこう言います。線分を $a$ と $b$ の二つに分ける。線分全体の上の、辺 $a+b$ の正方形は、$a$ の上の正方形と、$b$ の上の正方形と、辺 $a$ と $b$ の長方形二つの和に等しい。四つに分けた大きな正方形の図を見れば十分です。今日の記法では、
$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$学校で暗記する公式を、ユークリッドは 描いた のです。そして証明はその図そのものです。四つの部分が、あまりも不足もなく大きな正方形を埋めつくしています。
平方の差
命題 II.5 は、知られている最も古い『原論』の断片、オクシリンコスのパピルスに書かれていたものです。今日のことばでは、長さ $2m$ の線分をまんなかで切り、さらに任意の点で $m+d$ と $m-d$ に分けると、
$$(m+d)(m-d)+d^2=m^2$$となる、と言っています。これは恒等式 $m^2-d^2=(m+d)(m-d)$、平方の差 です。ユークリッドは、長方形の一部を切りとって小さな正方形のとなりにはめこみ、正方形をつくることで証明します。
平方完成
ユークリッドから千年後の 820 年ごろ、中央アジアのホラズム地方の出身で、バグダードの知恵の館で働いていた数学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミー が、未知の量をひとつ含む問題の解き方についての本を書きました。その題名には「復元」を意味する al-jabr という言葉があり、それが 代数（algebra）という言葉の起源になりました。著者の名前は アルゴリズム という言葉の起源です。このサイトの旧二次方程式講座は、彼の例のひとつを紹介していました。
ひとつの平方とその根の十倍が三十九に等しい。平方はいくつか？
今日のことばでは $x^2+10x=39$ です。フワーリズミーは、ユークリッドがしたであろうのとまったく同じく、面積でそれを解きました。
- 一辺 $x$ の正方形を描く。面積は $x^2$。
- 「根の十倍」$10x$ を、辺が $x$ と $5$ の二つの長方形に分け、正方形の二辺にそれぞれくっつける。L 字形の図全体の面積は $x^2+10x=39$。
- 大きな正方形を完成させるには、すみに一辺 $5$、面積 $25$ の小さな正方形が足りない。それを加えると、大きな正方形の面積は $39+25=64$。
- 面積 $64$ の正方形の一辺は $8$。ところが大きな正方形の一辺は $x+5$ なので、$x+5=8$、$x=3$。
今日の記法では、こうなります。
$$x^2+10x+25=39+25\quad\Longrightarrow\quad(x+5)^2=64\quad\Longrightarrow\quad x+5=8\quad\Longrightarrow\quad x=3.$$これが 平方完成 の方法で、そこから、ブラジルでは十二世紀のインドの数学者の名をとってバースカラの公式と呼ばれる解の公式が出てきます。幾何学には限界があります。正方形の一辺は負にはなれないので、フワーリズミーには解 $x=3$ しか見えませんでした。もうひとつの根、$x+5=-8$ つまり $x=-13$ が受けいれられるのは、何世紀もあとのことです。
一般の公式
同じ考え方は $x^2+px=q$ にも使えます。長方形の一辺は $\frac p2$、小さな正方形の面積は $\frac{p^2}4$ で、
$$\left(x+\frac p2\right)^2=q+\frac{p^2}4\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac p2+\sqrt{\frac{p^2}4+q}.$$$ax^2+bx+c=0$ なら、$a$ で割って同じ計算をくり返すと、
$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.}$$練習問題：このサイトの旧二次方程式講座にならって、x² + 8x = 65 を平方完成で解け。
二つの長方形は辺が $x$ と $4$、すみの小さな正方形の面積は $16$ です。よって $(x+4)^2=65+16=81$、大きな正方形の一辺は $9$ で、$x=9-4=5$。確かめると $25+40=65$。
練習問題：平方の差を使って、47 × 53 を暗算せよ。
$47\times53=(50-3)(50+3)=50^2-3^2=2\,500-9=2\,491$。$m=50$、$d=3$ の命題 II.5 です。
出典： 『原論』第二巻、D. E. Joyce 版 · Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi、The Algebra of Mohammed ben Musa、Frederic Rosen 訳（1831）· Victor J. Katz、A History of Mathematics（Pearson、2009）第 3 章、第 9 章。