直角三角形の辺の寸法と角度の寸法を関連付ける 3 つの特性を証明しましょう。彼らは、私たちがこれまで研究してきたサイクルの三角法を、すべてが始まった三角形の三角法に結び付けます。

歴史

ミレトス物語 (紀元前6世紀) は、エジプトの大ピラミッドの影と棒の影を比較してその高さを測ったと言われています。同じ瞬間、太陽は両方の物体と同じ角度を形成し、高さと影の比率は両方とも同じです。これはまさにこの章の考え方です。角度が固定されると、直角三角形の 2 つの辺の比率も固定されます。ただし、タレスの場合、これらの比率の名前や表はまだありませんでした。この物語は、ディオゲネス・ラエルティウスやプルタルコスなど、ずっと後の作家によって私たちに伝えられました。

タレスと大ピラミッド: 同時に、高さと影の比率はピラミッドと棒で同じです。太陽の高さを変更します。影は変わりますが、計算された高さは変わりません。

書籍に登場する直角三角形。 バグダッドの影板と現代の板の間で、その名前が記された直角三角形が何度も描かれ、再描画されました。

  1. c. 850
    ハバシュ アル ハシブ (アフマド イブン アブダラ) は、天文学の原稿で影と半文字列を使用しています。
  2. 1220
    ピサのレオナルド (フィボナッチ) は、幾何学の実践で、土地の測定に弦と三角形を適用しています。
  3. 1551
    レティカスは、正三角形の中で、直角三角形の辺によって6つの関数を定義しています。
  4. 1558
    フランチェスコ・ マウロリコは、球面の表と三角形を含むメネラウスの球面を編集します。
  5. 1620
    エドマンド・ ガンターは、三角柱で副洞と副接線を紹介しています。

出典: 物語 (MacTutor) · ディオゲネス ラエルティウス、著名な哲学者の生涯、I.27 · アリストテレス、政治、I.11。

日常生活での応用

  • 携帯電話で建物の高さ 傾斜計アプリは、頂上までの角度を測定します。建物から30m、$40^\circ$の場合、目の上の高さは$30\operatorname{tg} 40^\circ \approx 25{,}2$mです。
  • 飛行機の着陸。 最終降下は滑走路から約 $3^\circ$: 10 km で行われ、飛行機の高さは $10\,000\operatorname{tg} 3^\circ \approx 524$ m です。
  • 土地の傾斜。 測量士と技術者は、傾斜の接線によって土地を分類し、建設できる場所を決定します。
携帯電話で測定した建物の高さ: 距離、角度、接線。

理論

鋭角のサイン、コサイン、タンジェント

$A$ の直角三角形 $ABC$、頂点を中心とする単位半径の円 $B$、$B$ に原点があり、$\overline{BA}$ に軸 $u$ がある系 $uOv$ を考えます。斜辺$\overline{BC}$が円を切る点を$P$、$P$を軸$u$に投影したものを$P_1$、直線$BC$が円の接線を$I = (1, 0)$で切る点を$T$とします。

定理三角比

$A$ で直角な三角形 $ABC$ の場合:

$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$$$$\cos\hat{B} = \frac{c}{a} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{b}{c} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$$
デモを見る

中心サイクル $B$ では、点 $P$ は円弧 $\hat{B}$ のイメージです。次に $PP_1 = \operatorname{sen}\hat{B}$、$BP_1 = \cos\hat{B}$、$IT = \operatorname{tg}\hat{B}$、$BP = BI = 1$ になります。

1) $\triangle BP_1P \sim \triangle BAC$ (角度$\hat{B}$は共通で両者は直角)なので、$\dfrac{CA}{BC} = \dfrac{P_1P}{BP}$、つまり$\dfrac{b}{a} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{B}}{1}$となります。

2) 同じ類似性、$\dfrac{BA}{BC} = \dfrac{BP_1}{BP}$、つまり $\dfrac{c}{a} = \dfrac{\cos\hat{B}}{1}$。

3) $\triangle BIT \sim \triangle BAC$、したがって $\dfrac{CA}{BA} = \dfrac{TI}{BI}$、つまり $\dfrac{b}{c} = \dfrac{\operatorname{tg}\hat{B}}{1}$。

補角

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$や$\hat{A} = 90^\circ$と同様に$\hat{B} + \hat{C} = 90^\circ$もあり、 鋭角は相補的です。 $\hat{C}$ の反対側は $\hat{B}$ に隣接し、その逆も同様です。それが理由です

$$\operatorname{sen}\hat{C} = \cos\hat{B} = \frac{c}{a}$$$$\cos\hat{C} = \operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a}$$$$\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b} = \frac{1}{\operatorname{tg}\hat{B}}.$$

これは、三角形で読み取られる、第 IV 章の相補的な円弧と同じ特性です。

比例性

3 つの特性から、鋭角 $\hat{B}$ を固定して、その辺の 1 つに点 $A_1$、$A_2$、$A_3$、…をマークし、それらを通る垂線 $\overline{A_1C_1}$、$\overline{A_2C_2}$、$\overline{A_3C_3}$、…を引くと、次のようになります。

$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{A_1C_1}{BC_1} = \frac{A_2C_2}{BC_2} = \frac{A_3C_3}{BC_3} = \cdots$$$$\cos\hat{B} = \frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA_2}{BC_2} = \cdots $$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{A_1C_1}{BA_1} = \frac{A_2C_2}{BA_2} = \cdots$$

つまり、$\hat{B}$を固定し、$\hat{B}$の反対側と斜辺は正比例します。隣接する脚と斜辺、および 2 つの脚にも同じことが当てはまります。 [章の冒頭] のインタラクティブな図(/jp/posts/basic/trigonometria/livro/cap09-triangulos-retangulos/) を使用すると、これを数値的に確認できます。

三角形からの30°、45°、60°の角度

2 つのよく知られた三角形は、表を使わずに、$30^\circ$、$45^\circ$、および $60^\circ$ の角度の三角比を示します。

左側では、高さによって辺 正三角形 $\ell$ が角度 $30^\circ$ と $60^\circ$ の 2 つの直角三角形に分割されます。右側では、対角線によって辺の正方形 $\ell$ が 2 つの直角二等辺三角形に分割されます。

正三角形. 身長 $AH$ も中央値、次に $BH = \frac{\ell}{2}$、ピタゴラスによる $AH = \sqrt{\ell^2 - \frac{\ell^2}{4}} = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$ です。直角三角形 $ABH$ では、$B$ の角度は $60^\circ$ を測定し、$A$ の角度は $30^\circ$ を測定します。

$$\operatorname{sen} 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\ell\sqrt{3}/2}{\ell} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60^\circ = \operatorname{sen} 30^\circ = \frac{\ell/2}{\ell} = \frac{1}{2},$$$$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{\ell\sqrt{3}/2}{\ell/2} = \sqrt{3}, \qquad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\ell/2}{\ell\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

正方形の半分。 対角線の長さは $\sqrt{\ell^2 + \ell^2} = \ell\sqrt{2}$ で、辺との形は $45^\circ$ になります。

$$\operatorname{sen} 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\ell}{\ell\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \operatorname{tg} 45^\circ = \frac{\ell}{\ell} = 1.$$

注意側面は関係ない

すべての計算において、$\ell$ は相殺されます。これは、前のトピックの比例関係です。同じ値が[第V章]にも登場します(/jp/posts/basic/trigonometria/livro/cap05-arcos-notaveis/01-teorema-e-aplicacoes/) サイクルに内接するポリゴンから。基本的な関係 $\operatorname{sen}^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$ も確認してください。

アプリケーション: 光の道

鏡で反射したり、空気から水へ通過した光は方向を変えるのですが、直角三角形の三角法はその様子を説明します。 1662 でピエール・ド・ フェルマーは、2 点間で光は所要時間の短い経路をたどると提案しました。

  • 反射。 同じ媒質内では速度は一定なので、最短時間が最短経路 $SM + MT$ になります。鏡から$a$の高さに$S$、高さ$b$の$T$、$S$の麓から$x$の距離に$M$(合計距離$\ell$)のパスは$\sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(\ell - x)^2 + b^2}$です。少なくとも$\dfrac{x}{SM} = \dfrac{\ell - x}{MT}$が有効であり、これらの比は垂直との角度の正弦:$\operatorname{sen} i = \operatorname{sen} r$、 つまり入射角は反射角に等しいことになります。
  • 屈折。 水中では光は遅くなり ($v_2 < v_1$)、時間は $\dfrac{SM}{v_1} + \dfrac{MT}{v_2}$ になります。最悪の事態が発生するのは、
$$\frac{\operatorname{sen} i}{\operatorname{sen} r} = \frac{v_1}{v_2},$$

それはスネルの法則です。 984 頃にペルシアのイブン・ サールによってすでに発声され、1621 でオランダのヴィレブロルド・ スネリウスによって再発見され、1637 でデカルトによって出版されました。フェルマーはそれを最小原理から導き出した最初の人でした。 (最小値の正確な計算には導関数が使用されます。ここでは、図で 2 つの比率が一致するときに時間が短くなることがわかるだけで十分です。)

反射: ミラー上で点 $M$ を移動します。 $i = r$ の場合、パス $SM + MT$ が最小になります。
屈折: 光は空気中の $S$ を出て、水中の $T$ に到達し、そこでよりゆっくりと進みます。 $\frac{\operatorname{sen} i}{\operatorname{sen} r} = \frac{v_1}{v_2}$の場合、時間は最小になります。
Willebrord Snellius (1580–1626)、屈折の法則を再発見しました。
Willebrord Snellius (1580–1626)、屈折の法則を再発見しました。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ピエール・ド・フェルマー (1601 – 1665)、最小時間の原理からスネルの法則を導き出しました。
ピエール・ド・フェルマー (1601 – 1665)、最小時間の原理からスネルの法則を導き出しました。正体不明の画家 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

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