出典: FUVEST – 第 2 段階テスト 2 日目 (その日のすべての質問が記載されたノート)、質問 M01 から M06。 FUVEST は第 2 フェーズのテンプレートを公開していません。決議は私たちのものです。

FUVEST の第 2 フェーズの 2 日目に 2022 各候補者は 12 件の談話的な質問を受け取りました あなたのキャリアの特定の分野について。数学には6問(M01～M06)がありました。 4 個の数学の問題のみを解答した人は M01 から M04 を受け取りました。 3、M01からM03だけをやった人。 以下の各解決策は、2 番目のパス (別の方法またはアカウント) によってチェックされました。 コンピューター上）。

テンプレート

質問 主題 答え
M01 反復によって定義されたシーケンス (Collat​​z) a) 17; b) 12, 13 e 80; c) 4
M02 部品と領域で定義される機能 a) $[0, 2]$ および $[5, 9]$。 b) $\frac{9}{4}$、4、および $\frac{11}{2}$。 c) 解像度を参照
M03 デカルト平面での計数と確率 a) 6 ポイント。 b) $\frac{19}{49}$; c) $\frac{10}{147}$
M04 角錐台: 周長、体積、距離 a) $\frac{4 + 4\sqrt{2}}{3}$; b) $\frac{4\sqrt{2}}{27}$; c) $\frac{\sqrt{6}}{3}$
M05 円と放物線の交点 a) $(0, 1)$; b) $(0, 1)$, $(\pm\sqrt{3}, 4)$; c) $a > \frac{1}{4}$
M06 パッケージ数 (整数解) a) 101; b) 10 201; c) 506

質問 M01: シーケンス “3n + 1” (繰り返し)

声明

自然数列は次のように構築されます: その最初の項 $t_1$は任意の自然数として選択されます。 $t_1$が偶数の場合、 $t_2 = \frac{t_1}{2}$、$t_1$ が奇数の場合は $t_2 = 3t_1 + 1$。規約 以下の$t_n$も同様の規則に従って得られます。たとえば、次の場合 $t_1 = 3$、次に $t_2 = 10$、$t_3 = 5$、$t_4 = 16$ というように続きます。

このように、$t_1 \in \mathbb{N}$ から各 $n \in \mathbb{N}$ に対して、 $n \ge 2$、シーケンス $t_n$ は次のように定義されます。

$$ t_n = \begin{cases} \dfrac{t_{n-1}}{2}, & \text{se } t_{n-1} \text{ for par} \\ 3t_{n-1} + 1, & \text{se } t_{n-1} \text{ for ímpar} \end{cases} $$

a) $t_1 = 22$の場合は$t_4$を決定してください。

b) $t_4 = 10$ に該当するすべての $t_1$ を決定します。

c) $t_1 = 26$の場合は$t_{2022}$を決定してください。

解決

a) ルールを 3 回適用するだけです。

  • $t_1 = 22$ は偶数なので、$t_2 = 11$;
  • $t_2 = 11$ は奇数なので、$t_3 = 3 \cdot 11 + 1 = 34$;
  • $t_3 = 34$は偶数なので$t_4 = 17$となります。

応答 (a): $t_4 = 17$。

b) では後方に行きましょう。用語の価値が $k$ の場合、前の用語は次のようになります。

  • $2k$ (前の値が偶数の場合は、2 で割られます)、または
  • $\frac{k-1}{3}$ ですが、 この数値が自然かつ奇数の場合に限ります（前の数値が奇数の場合は$3 \cdot (\text{anterior}) + 1$になります）。

1. から $t_4 = 10$ に $t_3$: $2 \cdot 10 = 20$、 または $\frac{10-1}{3} = 3$ （奇妙なことに、 価値があります）。それから $t_3 \in$ {20, 3}.

2。 $t_3$ から $t_2$ まで:

  • $t_3 = 20$: $t_2 = 40$、 または $\frac{19}{3}$ (整数ではありません)。のみ $t_2 = 40$.
  • $t_3 = 3$: $t_2 = 6$、 または $\frac{2}{3}$ (整数ではありません)。のみ $t_2 = 6$.

3。 $t_2$ から $t_1$ まで:

  • $t_2 = 40$: $t_1 = 80$、または $\frac{39}{3} = 13$ (奇数、有効)。
  • $t_2 = 6$: $t_1 = 12$、または $\frac{5}{3}$ (非整数)。

前方チェック中: $13 \to 40 \to 20 \to 10$; $80 \to 40 \to 20 \to 10$; $12 \to 6 \to 3 \to 10$。 ✓

答え (b): $t_1 = 12$、$t_1 = 13$、または $t_1 = 80$。

c) $t_1 = 26$ から最初の項を計算します。

$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
$t_n$ 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 4 2 1

$n = 9$ からシーケンスはサイクル $4, 2, 1, 4, 2, 1, \ldots$ に入ります。 3 項ごとに繰り返します。 $t_9 = 4$、$t_{12} = 4$、$t_{15} = 4$、…のように、有効です $n \ge 9$ および $n$ が 3 の倍数である場合は常に $t_n = 4$。

$2022 = 3 \cdot 674$は3の倍数(各桁の和は6)なので、

応答 (c): $t_{2022} = 4$。

会議: 26 から 2022 の最初の項をコンピューターで計算し、 $t_{2022} = 4$ を取得しました。また、1 から 10 000 までのすべての $t_1$ と、12、13 のみをテストします。 80 は $t_4 = 10$ になります。

解答用紙に戻る

問題 M02: 長方形の部分と面積で定義される関数

声明

関数 $f$ は、範囲 $[-2, 9]$ で次のように定義されています。 $x \in [-2, 2]$、$f$ は $x$ を $x^2$ に取り込み、残りのドメインではそのグラフは次のようになります。 図に示すように、2 つの直線セグメントによって形成されます。

a) 関数 $f$ の領域内で増加するすべての間隔を表示します。

b) 点$x = -\frac{3}{2}$、$x = \frac{7}{2}$、$x = 8$における$f$の値を求めます。

c) $x \in \left]0, 9\right[$ の各値について、長方形 $R_x$ を考慮します。 点 $A = (x, 0)$、$B = (9, 0)$、$C = (9, f(x))$、$D = (x, f(x))$ の頂点。 $R_x$の領域の式を$x$の関数として区間内の$x$に書き込みます $\left]0, 9\right[$.

解決

$f$ の法則。 図から、最初のセグメントは $(2, 4)$ から $(5, 4)$ になります。 (水平)、2 番目は $(5, 4)$ から $(9, 6)$ まで傾斜を付けて進みます。 $\frac{6-4}{9-5} = \frac{1}{2}$、つまり$y = 4 + \frac{x-5}{2} = \frac{x+3}{2}$。 それから

$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \le x \le 2 \\ 4, & 2 \le x \le 5 \\ \dfrac{x+3}{2}, & 5 \le x \le 9 \end{cases} $$

a) 放物線 $y = x^2$ は、$[-2, 0]$ では減少し、$[0, 2]$ では増加します。で $[2, 5]$ 関数は定数で、$[5, 9]$ では正の傾きを持つ直線です。

答え (a): $[0, 2]$ と $[5, 9]$ では $f$ が増加しています。 ($[2, 5]$の範囲内) 彼女は変わらない。 「増えている」を「増えていない」という広い意味で理解すると、 降順」の場合、範囲は $[0, 9]$ 全体になります。)

b)

  • $x = -\frac{3}{2} \in [-2, 2]$: $f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
  • $x = \frac{7}{2} = 3{,}5 \in [2, 5]$: $f\left(\frac{7}{2}\right) = 4$.
  • $x = 8 \in [5, 9]$: $f(8) = \frac{8+3}{2} = \frac{11}{2}$.

答え (b): $\frac{9}{4}$、$4$、$\frac{11}{2}$。

w) 長方形 $R_x$ 基地がある $AB = 9 - x$ (軸上 $x$）と身長 $AD = f(x)$ (それはいつも $\ge 0$）。したがって、面積は、 $(9 - x) \cdot f(x)$、そして パッセージによって表情が変わる $f$:

$$ \text{Área}(R_x) = \begin{cases} (9-x)\thinspace x^2 = 9x^2 - x^3, & 0 < x \le 2 \\ 4(9-x) = 36 - 4x, & 2 \le x \le 5 \\ \dfrac{(9-x)(x+3)}{2} = \dfrac{-x^2 + 6x + 27}{2}, & 5 \le x < 9 \end{cases} $$

答え (c): 上の式。

会議: 接続点では、式は次のように同じ値を与えます。 $x = 2$、$9 \cdot 4 - 8 = 28 = 36 - 8$; $x = 5$、$36 - 20 = 16 = \frac{-25 + 30 + 27}{2}$にあります。 また、$(9 - x) \cdot f(x)$ で読み取った式をコンピュータで比較しました。 さまざまなポイントでグラフから直接取得できます。

解答用紙に戻る

問題 M03: 3 から 9 までの座標を持つ点 (数と確率)

声明

$m$ と $(m, n)$ の形のデカルト平面上の点の集合 $C$ を考えてみましょう。 $n$ は {3、4、5、6、7、8、9} に属します。

a) 製品$m \cdot n$が該当する$C$の全点$(m, n)$を提示します。 60より大きい。

b) $C$ から点 $(m, n)$ を描画すると、すべての点が等しい確率で 点として、分数$\frac{m}{n}$ が約分できる確率はいくらですか？

c) $C$ から異なる 2 つの点を等しい確率で描画します。 それらの間の距離が$\sqrt{13}$に等しい確率は?

注目して採用する: 分数$\frac{m}{n}$は、$m$と$n$に約数がある場合に約分可能です。 1に加えて、ナチュラルも共通です。

解決

セット$C$には$7 \cdot 7 = 49$点があります。

a) $m \cdot n > 60$ の場合、両方の数値が大きい必要があります。 $m = 7$の場合: $7 \cdot 9 = 63$ は機能しますが、$7 \cdot 8 = 56$ は機能しません。 $m = 8$の場合：$8 \cdot 8 = 64$および $8 \cdot 9 = 72$ は機能しますが、$8 \cdot 7 = 56$ は機能しません。 $m = 9$:$9 \cdot 7 = 63$の場合、 $9 \cdot 8 = 72$ と $9 \cdot 9 = 81$ は機能しますが、$9 \cdot 6 = 54$ は機能しません。 $m \le 6$では、 最大の商品は$6 \cdot 9 = 54$です。

答え (a): $(7, 9)$、$(8, 8)$、$(8, 9)$、$(9, 7)$、$(9, 8)$、$(9, 9)$。

b) $m$ と $n$ に共通の素因数がある場合、その分数は約分できます。いとこたち 可能なのは 2、3、5、7 です。

  • 両方のペア ({4、6、8}): $3 \cdot 3 = 9$ ポイント。
  • 3 の両方の倍数 ({3, 6, 9}): $3 \cdot 3 = 9$ ポイント。
  • 5 の両方の倍数: $(5, 5)$、1 のみがポイント。
  • 7 の両方の倍数: $(7, 7)$、1 のみがポイントです。

点 $(6, 6)$ は 2 回カウントされました (これは偶数であり、3 の倍数です)。他にないなら 繰り返します。合計: $9 + 9 + 1 + 1 - 1 = 19$ ポイント。

$$P = \frac{19}{49}$$

応答 (b): $\frac{19}{49}$。

補数による会議: $\text{mdc}(m, n) = 1$ とのペアは 30 (カウント コンピュータごと)、および $49 - 30 = 19$。 ✓

c) 1。個別ポイントの合計ペア:

$$\binom{49}{2} = \frac{49 \cdot 48}{2} = 1176$$

2。距離が$\sqrt{13}$ の場合 座標差が $\Delta m$ と $\Delta n$ (整数)、$(\Delta m)^2 + (\Delta n)^2 = 13$ が必要です。 13 を 2 つの平方和として記述する唯一の方法は $4 + 9$ であるため、 $\lbrace |\Delta m|, |\Delta n| \rbrace = \lbrace 2, 3 \rbrace$。

3。ペアを数えます。 座標の範囲は 3 から 9 (7 値) です。

  • $|\Delta m| = 2$、$|\Delta n| = 3$、「上と下」の両方のオフセット。 right": 開始点は 3 と 7 (5 オプション) の間に $m$ があり、3 と 6 の間に $n$ があります。 (4 オプション): 20 ペア。 「下と右」にスクロールすると、20 の詳細が表示されます。
  • $|\Delta m| = 3$、$|\Delta n| = 2$：同様に$20 + 20 = 40$。

合計: 80 ペア。

$$P = \frac{80}{1176} = \frac{10}{147}$$

応答 (c): $\frac{10}{147}$。

会議: すべての 1176 ペアのコンピュータ数は正確に 80 を示しました 距離ピア $\sqrt{13}$。

解答用紙に戻る

問題 M04: ピラミッドの角を切り取った立体

声明

ピラミッド $\mathbf{P}$ は正方形の底面 $A_0B_0C_0D_0$ と側面の寸法 1 μm を持ちます。 平面 $\Pi$ と 正三角形 の 4 つの面でサポートされ、 根元から頂点まで$E_0$/$\mathbf{P}$。 16点は$A_1$、$A_2$、$A_3$、$B_1$、 $B_2$、$B_3$、$C_1$、$C_2$、$C_3$、$D_1$、$D_2$、$D_3$、$E_1$、$E_2$、$E_3$、$E_4$、 図に示されているように、ピラミッドの各エッジを 3 つの等しいセグメントに分割します。 測る。

図で強調表示されている新しいソリッド $\mathbf{S}$ は、 $\mathbf{P}$ 5つのピラミッド $A_0A_1A_2A_3$、$B_0B_1B_2B_3$、$C_0C_1C_2C_3$、 $D_0D_1D_2D_3$と$E_0E_1E_2E_3E_4$。決定する：

a) $\Pi$ 上にある $\mathbf{S}$ の面の周囲。その頂点は次のとおりです。 $A_1$, $A_3$, $B_1$, $B_3$, $C_1$, $C_3$, $D_1$ e $D_3$.

b) $\mathbf{S}$のボリューム。

c) $A_1$と$E_2$の間の距離。

解決

$\mathbf{P}$ のすべての 8 エッジは 1 を測定します (底辺は辺 1 の正方形であり、 側面は正三角形）で、それぞれが3つの部分に分かれています $\frac{1}{3}$。

a) $\Pi$ 平面上の $\mathbf{S}$ の面は、4 の角をもつ底辺の正方形です カット：八角形。

  • 正方形の各辺には中央の 3 分の 1 があり、たとえば $A_3B_1 = \frac{1}{3}$ (4 面はこのようになります)。
  • それぞれのカットコーナーは、脚の直角二等辺三角形の斜辺になります。 $\frac{1}{3}$、たとえば $A_1A_3 = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ (4 面はこのようになります)。
$$\text{Perímetro} = 4 \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{4 + 4\sqrt{2}}{3} \text{ u.m.}$$

応答 (a): $\frac{4 + 4\sqrt{2}}{3}$ うーん。 $\approx 3{,}22$ うーん。

b) 1。 $\mathbf{P}$ の体積。 高さの底辺が正方形の中心であり、 各頂点の対角線の半分 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。サイドエッジ1では、 ピタゴラス著：

$$h = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$$V_{\mathbf{P}} = \frac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$

2。一番上のピラミッド、$E_0E_1E_2E_3E_4$。 $\mathbf{P}$ と似ていますが、それには十分な理由があります。 $\frac{1}{3}$ の場合、その体積は $\left(\frac{1}{3}\right)^3 V_{\mathbf{P}} = \frac{V_{\mathbf{P}}}{27}$ になります。

3。 $A_0A_1A_2A_3$ などのベース コーナー ピラミッド。 通過する平面 $B_0$、$D_0$、および $E_0$ は $\mathbf{P}$ を半分にカットします。四面体$A_0B_0D_0E_0$は ボリューム$\frac{V_{\mathbf{P}}}{2}$。四面体 $A_0A_1A_2A_3$ には 3 つの辺があります $A_0$ から出てくるものは $A_0B_0D_0E_0$ からの $\frac{1}{3}$ に等しい (同じ 指示))、理由 $\frac{1}{3}$ も同様です。

$$V_{A_0A_1A_2A_3} = \frac{1}{27} \cdot \frac{V_{\mathbf{P}}}{2}$$

これらは 4 個の等しい角です。合計すると $\frac{4}{27} \cdot \frac{V_{\mathbf{P}}}{2} = \frac{2V_{\mathbf{P}}}{27}$ になります。

4。 $\mathbf{S}$ のボリューム。

$$V_{\mathbf{S}} = V_{\mathbf{P}} - \frac{V_{\mathbf{P}}}{27} - \frac{2V_{\mathbf{P}}}{27} = \frac{24}{27} V_{\mathbf{P}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{27}$$

答え (b): $V_{\mathbf{S}} = \frac{4\sqrt{2}}{27}$ u.v. $\approx 0{,}210$ 紫外線

c) 座標を使用してみましょう。図から、$A_1$ はエッジ上にあり、$A_0D_0$ と $E_2$ はエッジ上にあります。 エッジ$E_0B_0$。取る

$$A_0 = (0, 0, 0), \quad B_0 = (1, 0, 0), \quad D_0 = (0, 1, 0), \quad E_0 = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right),$$

我々は持っています：

  • $A_1$ から $\frac{1}{3}$ へ $A_0$ から $D_0$ へ: $A_1 = \left(0, \frac{1}{3}, 0\right)$;
  • $E_2$から$\frac{1}{3}$へ$E_0$から$B_0$へ: $E_2 = E_0 + \frac{1}{3}(B_0 - E_0) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

それから

$$A_1E_2 = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

応答 (c): $A_1E_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}$ うーん。 $\approx 0{,}816$ うーん。

会議: 同じ座標を使用して、 四面体（行列式による）と再び$V_{\mathbf{S}} = \frac{4\sqrt{2}}{27} \approx 0{,}2095$を取得しました そして周囲$\approx 3{,}2190$。項目 c の別の表示方法: $A_1$ および $E_2$ 同じ垂直面 $y = \frac{1}{3}$ にあります。この平面では、水平距離は 二人の身長差は$\frac{2}{3}$、身長差は$\frac{2}{3} h = \frac{\sqrt{2}}{3}$です (根元と頂点の間のパスから$E_2$が$\frac{2}{3}$になります)。ピタゴラスによって、 $\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。 ✓

解答用紙に戻る

質問 M05: 3 個の共通点を持つ円周と放物線

声明

デカルト平面で、点 $(0, 3)$ を中心とし、 半径 2、および各 $a \in \mathbb{R}$、$a \ne 0$ の放物線、その方程式は次のとおりです。 $y = ax^2 + 1$。

a) $a = -1$について、円と放物線の共通点を求めます。

b) $a = 1$に対して、円と放物線の共通点を3個存在させます。

c) 円と放物線が対象となる $a$ の値をすべて求めます。 正確に 3 個の共通点があります。

解決

一般方程式。 円周は $x^2 + (y - 3)^2 = 4$ であり、放物線は次のようになります。 $x^2 = \frac{y - 1}{a}$。円内の $x^2$ を置き換えます。

$$\frac{y - 1}{a} + (y - 3)^2 - 4 = 0$$

$(y-3)^2 - 4 = (y - 3 - 2)(y - 3 + 2) = (y - 5)(y - 1)$ として、方程式は次のように考慮します。

$$(y - 1)\left[\frac{1}{a} + y - 5\right] = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 1 \quad\text{ou}\quad y = 5 - \frac{1}{a}$$

$y$ の各値は、$x^2 = \frac{y-1}{a} \ge 0$ の場合にのみポイントを生成します。

  • $y = 1$ は $x^2 = 0$: 点 $(0, 1)$ を与えます。これは、 すべての放物線の円周と頂点。
  • $y = 5 - \frac{1}{a}$ は $x^2 = \frac{4 - \frac{1}{a}}{a} = \frac{4a - 1}{a^2}$ を与えます。

a) $a = -1$: $y = 1$ または $y = 5 + 1 = 6$。 $y = 6$、$x^2 = \frac{6-1}{-1} = -5 < 0$の場合: 意味がありません。 (実際、$y = 6$ は $y = 1$ から $y = 5$。) $y = 1$、$x = 0$ のままです。

応答 (a): $(0, 1)$。

b) $a = 1$: $y = 1$ または $y = 5 - 1 = 4$。 $y = 4$、$x^2 = 3$、$x = \pm\sqrt{3}$の場合。

$(\sqrt{3}, 4)$ を確認: 円周上、$3 + (4-3)^2 = 4$ ✓;たとえ話の中で、 $1 \cdot 3 + 1 = 4$ ✓。

答え (b): $(0, 1)$、$(\sqrt{3}, 4)$、$(-\sqrt{3}, 4)$。

c) 点$(0, 1)$は常に共通です。正確に 3 点を持つには、2 番目の root は、2 つの新しい点、$(\pm x, y)$ と $x \ne 0$ を与える必要があります。

$$x^2 = \frac{4a - 1}{a^2} > 0 \quad\Leftrightarrow\quad 4a - 1 > 0 \quad\Leftrightarrow\quad a > \frac{1}{4}$$

$a = \frac{1}{4}$の場合、2番目のルートは再び$y = 5 - 4 = 1$となり、点だけが存在します。 $(0, 1)$。 $a < \frac{1}{4}$($a \ne 0$の場合)、$x^2 < 0$の場合もポイントのみあります $(0, 1)$。 2 または 4 点は存在しません。

応答 (c): $a > \frac{1}{4}$。

会議: コンピュータにより、次のように円周をパラメータ化します。 $(2\cos\theta, 3 + 2\sin\theta)$ そして放物線と交差する点を数えます $a$ のさまざまな値 (例: $-1$、$0{,}1$、$0{,}2$、$0{,}3$、$1$、$5$): によると、$a \le 0{,}2$ に対して 1 ポイント、$a \ge 0{,}3$ に対して 3 ポイントを取得しました。 $a > \frac{1}{4}$。

解答用紙に戻る

質問 M06: エンドウ豆とコーンの缶のパッケージ (数)

声明

食品流通会社はエンドウ豆の缶詰 (E) とコーンの缶詰を持っています (M)、重さ1kgと2kgの2種類、合計4(4種類)の缶：E1とE2 （エンドウ豆、それぞれ 1kg と 2kg）および M1 と M2（トウモロコシ、1kg ） それぞれ2kg）。これらの缶は、出荷用にパッケージにグループ化されます。 トレーダー。 2 つの缶パックは、以下が含まれていれば同等とみなされます。 缶の状態に関係なく、各種類の缶を同じ数だけ パッケージ内に整理されています。

a) それぞれの重さがちょうど 200kg の異なる荷物は何個 (200 個) キロ) はE1 と E2 タイプの缶のみで組み立てることができますか?で カウントする場合は、1 タイプのみで形成されるパケットも考慮する必要があります この缶の。

b) それぞれの重さがちょうど 200kg の異なる荷物は何個 (200 個) キロ) はE1、E2、M1 タイプの缶のみで組み立てられますか?で カウントするには、1 または 2 タイプのみで形成されるパケットも考慮する必要があります。 この缶の。

c) それぞれの重さがちょうど 20 kg の異なる荷物が何個あるか (20 キロ) 缶はE1、E2、M1、M2 タイプで組み立てられますか？数えるとき、 1、2、または 3 タイプのみで形成されるパッケージも考慮する必要があります。 この缶の。

解決

パッケージは、各種類の缶の数によって決まります。 $e_1$ としましょう、 $e_2$、$m_1$、および $m_2$ これらの量 (整数 $\ge 0$)。重量は $e_1 + 2e_2 + m_1 + 2m_2$。

a) $e_1 + 2e_2 = 200$ が必要です。 $e_2$を選択すると、$e_1 = 200 - 2e_2$の値は 決定されており、$\ge 0$ である必要があります。$e_2$ は $0, 1, 2, \ldots, 100$ にすることができます。

応答 (a): 101 パケット。

b) $e_1 + m_1 + 2e_2 = 200$ が必要です。 $e_2 = k$ ($0 \le k \le 100$) を固定、 $e_1 + m_1 = 200 - 2k$ が残り、$201 - 2k$ 個の解決策があります (0 から $e_1$ まで)。 $200 - 2k$)。追加:

$$\sum_{k=0}^{100} (201 - 2k) = 201 + 199 + 197 + \cdots + 3 + 1$$

これは最初の 101 個の奇数の合計であり、$101^2$ に相当します。

$$101^2 = 10\thinspace 201$$

答え (b): 10 201 パケット。

c) $(e_1 + m_1) + 2(e_2 + m_2) = 20$ が必要です。の番号を$k = e_2 + m_2$とします。 2 kg 缶 ($0 \le k \le 10$)。

  • $e_2 + m_2 = k$ には $k + 1$ 個のソリューションがあります。
  • $e_1 + m_1 = 20 - 2k$ には $21 - 2k$ のソリューションがあります。

$k$ ごとに $(k + 1)(21 - 2k)$ パッケージがあります。

$k$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$(k+1)(21-2k)$ 21 38 51 60 65 66 63 56 45 30 11

合計: $21 + 38 + 51 + 60 + 65 + 66 + 63 + 56 + 45 + 30 + 11 = 506$。

応答 (c): 506 パケット。

カンファレンス: コンピューターの数、考えられるすべての数量をテストする 各タイプの缶の、アイテム a、b、および c のパッケージは 101、10、201、および 506 でした。

解答用紙に戻る