Euler's Eyes
2026-10-14
『解析力学』：図のない本
1687 年のニュートンの『プリンキピア』を開くと、ほとんどすべてのページに図があります。三角形、楕円、矢印、接線。百年後の 1788 年に出版されたラグランジュの『解析力学』を開くと、図は一枚もありません。著者自身が序文でそのことを誇らしげに予告し、こう付け加えています。
解析を愛する人びとは、力学が解析の新しい一分野になるのを喜んで見るだろうし、私がこうしてその領域を広げたことに感謝してくれるだろう。
— ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析力学』序文（1788）
この本はベルリンで書かれ、ほとんど完成した状態でパリに持ちこまれました。これほどむずかしい論文にお金を賭けようという出版社はなく、ある書店を説きふせて出版させ、校正刷りに目を通したのは若いアドリアン＝マリ・ルジャンドルでした。印刷された本が届いたとき、ラグランジュは気分のふさいでいた時期で、二年間それを開かなかったといわれています。
力のやっかいさ
ニュートンの力学では、物体がどう動くかを知るには、それにはたらくすべての力を書き出し、矢印のように足し合わせなければなりません。たとえば振り子には、重さと糸の張力がはたらきます。重さはかんたんですが、張力はそうはいきません。それは時々刻々と変わり、前もってだれにもわかりません。おもりを糸につないでおく役目しかないのに、それでも運動にたどりつくには、まずそれを計算しなければならないのです。
ラグランジュは、こうした束縛の力がそもそも現れない方法をほしがっていました。
すべてを一つの関数で
ラグランジュの考えは、系を自由に選んだ座標、いちばん自然なもので記述することでした。振り子なら、一つの数で十分です。糸が鉛直線となす角 $\theta$ です。次に、その座標を使って二つのエネルギーを書きます。
- $T$：運動のエネルギー（今日いう運動エネルギー）
- $V$：位置によってたくわえられたエネルギー（今日いう位置エネルギー）
そして、今日ラグランジアンと呼ばれる一つの関数をつくります。
$$L=T-V.$$本当の運動は、オイラー＝ラグランジュ方程式を、$x$ のかわりに時間 $t$ で満たすものです。
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.$$ここで $q$ は座標、上に点のついた $\dot q$ はその速度で、ニュートンの記法です。これはレシピです。$L$ を書き、微分し、ゼロとおく。図も矢印もありません。
最初のテスト：自由落下
高さ $h$ にある質量 $m$ の物体では、運動のエネルギーは $T=\frac12m\dot h^2$、たくわえられたエネルギーは $V=mgh$ です。よって
$$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$方程式は $m\ddot h+mg=0$、つまり $\ddot h=-g$ となります。物体は一定の加速度 $g$ で落ちる。矢印を一本も描かずに、ガリレオの法則がふたたび得られました。
振り子
今度はニュートンが苦労する例です。質量 $m$ のおもりが長さ $\ell$ の糸につるされています。角度を $\theta$ とすると、おもりの速さは $\ell\dot\theta$、高さはつるした点から $-\ell\cos\theta$ です。よって
$$L=\tfrac12m\ell^2\dot\theta^2+mg\ell\cos\theta.$$微分すると $\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}=m\ell^2\dot\theta$、$\frac{\partial L}{\partial\theta}=-mg\ell\sin\theta$。ラグランジュの方程式から
$$\begin{aligned}&m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=0\\ &\Longrightarrow\quad\ddot\theta=-\frac g\ell\sin\theta.\end{aligned}$$糸の張力は一度も出てきませんでした。$\theta$ を座標に選んだ時点で、糸はすでに記述の「中に」入っています。おもりは円から出ることができないのです。角度が小さいときは $\sin\theta\approx\theta$ で、方程式はばねの方程式になり、周期は
$$P=2\pi\sqrt{\frac\ell g}$$です。
科学の詩
この方法は、座標がいくつあっても使えます。二重振り子、こま、惑星、振動する弦。1834 年、アイルランドのウィリアム・ローワン・ハミルトンはラグランジュの方程式をさらに対称的な形に書き直し、この本についてこう書きました。
こうした演繹的研究に広がりと調和を与えるうえで、ラグランジュはおそらくほかのどの解析家よりも多くのことをなした。〔……〕彼は大著『解析力学』を一種の科学の詩にしたのである。
— ウィリアム・ローワン・ハミルトン『力学における一般的方法について』（1834）
練習問題：周期 2 秒の振り子の長さは？
$P=2\pi\sqrt{\ell/g}$ から、$\ell=g\left(\frac{P}{2\pi}\right)^2=9.81\cdot\frac1{\pi^2}\approx0.994$ m。これが秒振り子で、片道のひと振りがちょうど 1 秒です。1791 年、ラグランジュも加わっていたメートル法の委員会は、この長さをメートルの定義にすることを議論しました。しかし $g$ は場所によって変わるので、地球の子午線の四分の一の一千万分の一のほうが選ばれました。
練習問題：ラグランジュのレシピでばねを解く
ばね定数 $k$ のばねにつけた質量 $m$ が $x$ だけずれているとき、$T=\frac12m\dot x^2$、$V=\frac12kx^2$ です。すると $L=\frac12m\dot x^2-\frac12kx^2$、$\frac{\partial L}{\partial\dot x}=m\dot x$、$\frac{\partial L}{\partial x}=-kx$。方程式は $m\ddot x+kx=0$ となり、フックの法則と $F=ma$ から得られるものと同じです。
出典： Joseph-Louis Lagrange, Méchanique analitique（1788）、Internet Archive · ラグランジュの伝記、MacTutor · William Rowan Hamilton, “On a General Method in Dynamics”, Philosophical Transactions（1834）。