どのような力のどのようなつりあいにおいても、力がどのように加えられていようと、正のエネルギーの和は負のエネルギーの和に等しい。

— ヨハン・ベルヌーイ、ピエール・ヴァリニョン宛の手紙（1717 年 1 月 26 日）

アルキメデス以来、単純機械にはそれぞれ別の説明がありました。てこは腕の長さの法則にしたがい、斜面はステヴィンが考えた力の分解にしたがい、滑車は綱についての議論に、ねじはまた別の議論にしたがう、というぐあいです。1717 年、ヨハン・ベルヌーイはフランスの友人ピエール・ヴァリニョンへの手紙で、これらの法則がすべて ひとつの原理 の特別な場合であることを示しました。

考え方：ほんの少しだけ動かす

つりあって止まっている機械を思いうかべてください。それを、頭のなかだけで、ごくわずかな距離だけ動かします。ただし拘束は守ります。てこは支点のまわりに回り、綱はのびず、ブロックは斜面から離れません。この想像上の変位は、実際には起こらないので 仮想 変位と呼ばれます。

力 $F_i$ がはたらく各点は、力の向きにほんの少し $\delta s_i$ 動きます。積 $F_i\,\delta s_i$ がその力の 仮想仕事 です。ヨハンはこれを エネルギー と呼びました。この言葉が今日に近い意味で現れたのは、これが最初です。原理はこう述べます。

$$\boxed{\ \text{つりあいでは、}\quad\sum_i F_i\,\delta s_i=0\ \text{ がすべての仮想変位について成り立つ。}\ }$$

運動を助ける力の仕事は、運動に逆らう力の仕事に等しい。止まっている機械は、無から仕事をつくりだすことはできません。

アルキメデスのてこ

てこの支点から距離 $a$ と $b$ のところに、重さ $P_1$ と $P_2$ があります。てこをごく小さな角 $\delta\theta$ だけ回します。$P_1$ の側は $a\,\delta\theta$ 下がり、$P_2$ の側は $b\,\delta\theta$ 上がります。下がる重さは正の仕事を、上がる重さは負の仕事をします。

$$P_1\,a\,\delta\theta-P_2\,b\,\delta\theta=0\quad\Longrightarrow\quad P_1\,a=P_2\,b.$$

相似な三角形の図をひとつも使わずに、アルキメデスの法則が出てきます。$\delta\theta$ はただ消えるだけです。

滑車

滑車の組み合わせで、重さ $W$ が $n$ 本の綱で支えられ、人が自由端を力 $F$ で引くとします。重さが $\delta h$ 上がると、$n$ 本の綱はそれぞれ $\delta h$ 短くなり、その分の綱がすべて自由端から出てくるので、自由端は $n\,\delta h$ 動きます。したがって

$$F\cdot n\,\delta h-W\,\delta h=0\quad\Longrightarrow\quad F=\frac Wn.$$

綱が四本なら、25 kg の力で 100 kg を持ちあげられます。けれども距離で支払うことになります。重さを 1 メートル上げるには、綱を 4 メートル引かなければなりません。

斜面

傾き $\alpha$ の斜面に重さ $W$ のブロックがあり、斜面に平行な力 $F$ で支えられています。ブロックを斜面に沿って $\delta d$ だけ押しあげると、鉛直方向には $\delta d\sin\alpha$ 上がります。

$$F\,\delta d-W\,\delta d\sin\alpha=0\quad\Longrightarrow\quad F=W\sin\alpha.$$

30° の斜面なら、重さの半分の力でブロックを支えられます。ステヴィンは 1586 年、二つの斜面にかけた数珠の首飾りについての巧妙な議論で同じ結果に達していました。ヨハンは一行でそこに着いたのです。

練習問題：ねじ式の自動車用ジャッキのピッチが 5 mm（一回転で 5 mm 上がる）、ハンドルが 25 cm のとき、1 000 kg を持ちあげるにはハンドルにどれだけの力が必要か？

一回転で手は $2\pi\cdot0.25\approx1.571$ m 動き、車は $0.005$ m 上がります。原理より、

$$F\cdot1.571=1\,000\cdot0.005\quad\Longrightarrow\quad F\approx3.2\ \text{kgf}.$$

3 kg あまりの力で 1 トンが持ちあがります。実際にはねじの摩擦のためにずっと大きな力が必要ですが、この大きさの見当が、ジャッキがはたらく理由を説明しています。

練習問題：井戸の巻き上げ機の軸の半径が 10 cm、ハンドルの半径が 40 cm のとき、20 kg のバケツを支えるにはどれだけの力が必要か？

ハンドルを角 $\delta\theta$ だけ回します。手は $0.40\,\delta\theta$ 動き、バケツは $0.10\,\delta\theta$ 上がります。よって $F\cdot0.40=20\cdot0.10$ で、$F=5$ kgf。これは姿を変えたてこです。半径の比 4 が機械的な利得です。

出典： Pierre Varignon、Nouvelle mécanique ou statique（パリ、1725）第二巻。ヨハンの手紙を収める · René Dugas、A History of Mechanics（Dover、1988）第 2 章 · ヨハン・ベルヌーイの伝記、MacTutor。

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