Euler's Eyes
2026-10-11
無限降下法：より小さな解が矛盾を導く
各段に正の整数が書かれた階段を想像してください。下りていくことはできます。10、7、4、2、1……でもいつかは階段が終わります。どんどん小さくなる正の整数の無限の列は存在しません。
当たり前に思えます。フェルマーはこの当たり前のことを、数論でもっとも強力な道具の一つに変えました。無限降下法です。
使い方
ある方程式が正の整数の解をもたないことを証明するには、
- 解があると仮定する。
- そこから、やはり正の整数で、しかもより小さい、別の解を作る。
- くり返す。新しい解からさらに小さな解が得られ、それが永遠に続く。
- これは不可能である。正の整数の階段には終わりがあるからだ。したがって、1 の解は存在しなかった。
フェルマーはこの方法を誇りにしていました。1659 年、数学者ピエール・ド・カルカヴィへの手紙で、数についての結果のほとんどはこの方法で証明したと述べています。
例：2 の平方根
$\sqrt2$ が分数でないことは、ギリシア人がすでに知っていました。無限降下法を使うと、短く美しい証明が得られます。
$\sqrt2=\dfrac ab$（$a$、$b$ は正の整数）と仮定します。2 乗すると、
$$a^2=2b^2.$$右辺は偶数なので、$a^2$ は偶数です。奇数の 2 乗は奇数なので、$a$ は偶数でなければなりません。$a=2c$ とおいて代入すると、
$$4c^2=2b^2\qquad\Longrightarrow\qquad b^2=2c^2.$$何が起きたか見てください。$(b,c)$ は $(a,b)$ と同じ方程式を満たしています。つまり $\sqrt2=\dfrac bc$。しかもこの新しい分数の数はより小さい。$a^2=2b^2<4b^2$ なので $a<2b$、したがって $c=\dfrac a2 くり返すと $\dfrac cd$、$\dfrac de$……が得られ、分母は $b>c>d>e>\cdots$ とどんどん小さくなりながら、いつまでも正のままです。階段は永遠に下り続けることになります。矛盾です。$\sqrt2$ は分数ではありません。 フェルマー自身のもっとも有名な例は、$3,4,5$ のように辺の長さが整数の直角三角形についてのものです。彼は、そのような三角形の面積は決して平方数にならないことを証明しました。たとえば $3,4,5$ の三角形の面積は $6$ で、平方数ではありません。 ディオファントス『算術』の余白に書かれたこの証明は、フェルマーが残した唯一の完全な数論の証明です。面積が平方数になる三角形から出発し、非常に巧妙に、辺がより短い同じ種類の三角形を作り出します。無限降下法です。 方法を説明するのは簡単です。難しいのはステップ 2、より小さな解をどうやって作るかを見つけることです。$\sqrt2$ では 2 で割れば十分でした。フェルマーの三角形では、その作り方は巧妙で長いものです。もっと難しい問題では、誰もやり方を知りません。降下法は自動的なレシピではなく、毎回新しいアイデアを必要とする戦略なのです。 また、この方法は整数に依存していることにも注意しましょう。実数なら、列は問題なく永遠に減り続けられます。$1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$ は終わることもなく、負になることもありません。 $1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$ は無限で、正で、つねに減少しているからです。降下法は、永遠には減り続けられない正の整数でしか使えません。 $a^2=3b^2$ なら 3 は $a^2$ を割り切り、3 は素数なので $a$ を割り切ります。$a=3c$ とすると $9c^2=3b^2$、つまり $b^2=3c^2$。$(b,c)$ は新しい解です。$a^2=3b^2<9b^2$ より $a<3b$、したがって $c=\frac a3 資料： フェルマーの伝記、MacTutor。 フェルマーの全トピック · ← フェルマーの原理：光はもっとも速い道を選ぶ · フェルマーの最終定理：余白からワイルズの証明まで →フェルマーの三角形
秘訣は作り方にある
練習：減少していく正の実数の列では、なぜ同じ矛盾が生じないのか？
練習：証明を変えて、√3 が分数でないことを示せ