Euler's Eyes
2026-10-11
定義 - 直角
壁、四角形、紙など、構築された世界は直角でいっぱいです。
発見者
直角は、 定義されるずっと前からエジプト人、バビロニア人、インド人、 中国人によって実際に使用されていました。バビロニアのタブレットプリンプトン 322 (紀元前 1800 頃) には、45、60、75 などの直角三角形を形成する数字のセットがリストされています。三角形 3-4-5 を拡大したものは 15 です。回 — そして中国語のテキスト周備素京は、三角形 3-4-5 についての有名な人物を紹介しています。厳密な定義はユークリッド (定義 I.10) によるもので、直線が他の直線と交わって等しい隣接角を形成するとき、 それぞれの直線は直線であり、 直線はもう一方に対して垂直です。
歴史
エジプトの「ロープストレッチャー」は、12 個の結び目のロープを直角にし、三角形 3-4-5 を形成したとよく言われます。これは美しい話ですが、それを裏付けるエジプトの文書はありません。これは 19 世紀の歴史家による仮説として浮上しました。確実に知られているのは、エジプトの建築家が非常に正確に直角を作ったということです。
ユークリッドは直角をすべての角度を比較するための標準とし、第 4 公準ですべての直角は等しいと述べました。 垂直という言葉は、ラテン語のperpendiculum、つまり鉛直線に由来しています。
日常生活での応用
- 煉瓦職人のルール 3-4-5 壁の直角度を確認するには、一方の辺に 3 m、もう一方の辺に 4 m の印を付け、対角線が 5 m であるかどうかを確認します。
- 鉛直と水平 鉛直は垂直、水準器は水平を示し、この 2 つは垂直になります。
- 紙とキャンバス。 A4 シート、写真、キャンバスの角はまっすぐです。これにより、積み重ね、取り付け、位置合わせが可能になります。
- 交差点 直角に交差する道路は、ドライバーの視認性を高めます。
出典: 要素、定義 I.10 · バビロニア数学: プリンプトン 322 (MacTutor) · 中国数学 (MacTutor)。
理論と作図
定義垂直線
2 つの直線が直角である（記号$\perp$）のは、それらが同時に存在し、合同な隣接する補助角を形成する場合に限ります。
$$a \perp b \iff a \cap b = \lbrace P \rbrace \ \text{ e } \ a_1\hat{P}b_1 \equiv a_1\hat{P}b_2,$$ここで、$a_1$ は $P$ を原点とする $a$ の光線の 1 つであり、$b_1$、$b_2$ は $P$ を原点とする $b$ の反対の光線です。
2 本の線 (または 2 本の線分) が垂直線に含まれ、共通点を持っている場合、それらは垂直です。角度$a_1\hat{P}b_1$は$a_1 \perp b_1$ であれば右です。
定義斜めストレート
直交していない2 本の平行線は斜めです。
定理直角の存在
直角があります。
デモを見る
直線 $r$、そこから点 $O$、原点 $O$ を持つ $r$ からの光線 $r_1$ を取得します。 $r$ に関して反対側の半面で、$P$ と $Q$ を $r_1\hat{O}P \equiv r_1\hat{O}Q$ (1) と $\overline{OP} \equiv \overline{OQ}$ (2) とします。線分$\overline{PQ}$は点$X$で$r$をカットします。
- $X = O$ の場合、角度 $P\hat{X}r_1$ と $Q\hat{X}r_1$ は隣接しており、補足的であり、合同であり、直線です。
- $X \neq O$ の場合、LAL ((2)、(1)、および $\overline{OX}$ 共通)、$\triangle POX \equiv \triangle QOX$、次に $P\hat{X}O \equiv Q\hat{X}O$: 再び 2 つの一致する追加の隣接角、つまり直角。