インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 3 章を完了.

2つの施策を組み合わせたもの

第 1 象限の座標 $(3/5,4/5)$ で点をマークします。その水平方向と垂直方向の変位により、直角三角形の脚が形成されます。中心までの距離は1です。 $(3/5)^2+(4/5)^2=9/25+16/25=1$ なので、これはサイクル内のポイントです。

デモンストレーション: 基本的なアイデンティティ

ピタゴラスの定理によれば、直角三角形では、斜辺の二乗は脚の二乗の和になります。サイクル内の点の場合、脚の長さは $|\cos\theta|$ と $|\operatorname{sen}\theta|$、斜辺の寸法は 1 です。二乗すると兆候が消えます。したがって、どの象限でも次のようになります。

$$\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1.$$

$\operatorname{sen}^2\theta$と書くと$(\operatorname{sen}\theta)^2$を意味します。軸点でも等式が直接適用されます。一方の座標はゼロで、もう一方の座標は 1 または -1 です。

この平等性を同一性と呼びます。つまり、その領域のあらゆる角度に適用されます。 $\operatorname{sen}\theta=1/2$ は特定の角度にのみ適用される方程式です。

2 つの新しいアイデンティティ

$\cos\theta\ne0$ の場合、各単位項を $\cos^2\theta$ で割ります。

$$\frac{\operatorname{sen}^2\theta}{\cos^2\theta}+1 =\frac1{\cos^2\theta}.$$

定義上、$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$。 $\operatorname{sen}\theta\ne0$の場合、$\operatorname{sen}^2\theta$で割ると$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$になります。

条件は式に従います。分数を含む等式は、すべての分数が存在する場合にのみ使用できます。

例: 広場が隠れている標識

$\operatorname{sen}\theta=3/5$ であることはわかっています。それから：

$$\cos^2\theta=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.$$

したがって、$\cos\theta=4/5$または $-4/5$。点が第 2 象限にある場合は、中心の左側にある $-4/5$ を選択します。この場合は$\tan\theta=(3/5)/(-4/5)=-3/4$となります。

アイデンティティを証明する方法

一方の側から始めて、もう一方の側に到達するまで、既知の等式を使用します。 1 つの角度をテストするだけでは十分ではありません。すべての角度についての主張には一般的な議論が必要です。

たとえば、$\cos\theta\ne0$ の場合:

$$\begin{aligned} (1-\operatorname{sen}\theta)(1+\operatorname{sen}\theta) &=1-\operatorname{sen}^2\theta\\ &=\cos^2\theta. \end{aligned}$$

得られた等式は、割り算が行われていないため、コサインがゼロの場合でも有効です。両辺を $\cos^2\theta$ で割って 1 を取得すると、$\cos\theta\ne0$ が必要になります。式を簡略化しても、最初に禁止されていたポイントは返されません。

バグラボ

二乗和は1なので、誰かが$\operatorname{sen}\theta+\cos\theta=1$と書きました。 $\theta=45°$ を試してください。合計は $\sqrt2$ となり、1 とは異なります。たった 1 つの反例が普遍的な主張を破壊します。この違いを維持することは、あらゆる数学に役立ちます。

日常生活での応用

  • スロープ上のカート。 傾斜したスロープ $\alpha$ 上のカートの重量 $P$ は、カートを下降させる $P\operatorname{sen}\alpha$ とスロープに押し付ける $P\cos\alpha$ に分割されます。そして$(P\operatorname{sen}\alpha)^2 + (P\cos\alpha)^2 = P^2$。
  • 画面サイズ 画面の幅と高さは対角線の余弦と正弦なので$\text{largura}^2 + \text{altura}^2 = \text{diagonal}^2$となります。
  • エネルギー料金 「力率」$\cos\varphi$ が低い場合、業界は罰金を支払います。対応するサインは基本的な関係を残します。
幅² + 高さ² = 対角線²: テレビ画面上の基本的な関係。

練習問題

ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。

1. $\cos\theta=5/13$ と $\theta$ が第 1 象限にある場合、正弦を求めます。

解像度 1 を参照

$\operatorname{sen}^2\theta=1-25/169=144/169$。正なので$\operatorname{sen}\theta=12/13$となります。

2. $\tan\theta=2$ の場合、$\sec^2\theta$ の価値はいくらですか?

解像度 2 を参照

$1+2^2=5$。これにより、正割線の符号は決定されずに、正割線の 2 乗が決定されます。

3. $\operatorname{sen}\theta\,\csc\theta=1$ をデモンストレーションします。条件は何ですか?

解像度 3 を参照

定義上、$\operatorname{sen}\theta\cdot(1/\operatorname{sen}\theta)=1$ は $\operatorname{sen}\theta\ne0$ と同じです。

4. $(1-\cos^2\theta)/\operatorname{sen}\theta$ を簡略化します。

解像度 4 を参照

分子は$\operatorname{sen}^2\theta$です。結果は $\operatorname{sen}\theta$、元の条件は $\operatorname{sen}\theta\ne0$ です。

5. $\operatorname{sen}\theta=-8/17$ で点が第 3 象限にある場合、コサインを求めます。

解像度 5 を参照

$\cos^2\theta=225/289$、コサインは負です: $-15/17$。

6. 平等 $\tan\theta=\operatorname{sen}\theta$ は同一性ですか?

解像度 6 を参照

いいえ: $45°$ では、タンジェントは 1、サインは $\sqrt2/2$ です。この反例で十分です。

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