Euler's Eyes
2022-11-01
ファミリーを設定する
集合論では、集合のファミリーまたはインデックス付きコレクションの概念を扱うことが重要です。たとえば、確率過程の理論では、この概念は主にシグマ代数のフィルタリング理論に広く使用されています。
インデックス付きコレクション
定義（集合のインデックス付きファミリー） $\Gamma$ を集合とし、各要素 $\gamma \in \Gamma$ に対して集合 $A_{\gamma}.$ が関連付けられていると仮定します。このようなセット $A_{\gamma}$ のコレクションは、セットのインデックス付きファミリーであると言われ、セット $\Gamma$ によってインデックス付けされ、次のように表されます。
$$\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma \\}$$
$\mathcal{C} = \\{ A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma \\},$ の場合、次のように書きます。
$$\bigcup \mathcal{C} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \\{x; x \in A_{\gamma} \text{ para algum } \gamma \in \Gamma \\}$$e
$$\bigcap \mathcal{C} =\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \\{x; x \in A_{\gamma} \text{ para todo } \gamma \in \Gamma \\}.$$セットのコレクションが与えられた場合、インデックス セット $\Gamma$ を取得し、このコレクションを $\Gamma$ でインデックス付けされたインデックス付きセット ファミリにすることが常に可能であることに注意してください。
有限インデックスセット
有限のインデックス セット、たとえば $\Gamma = \\{1,2,3,\dots, n\\}$ では、次のようになります。
- 集合の和集合: $$\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcup^n_{i=1} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$$
- 集合の交差: $$\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcap^n_{i=1} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$$
列挙可能なインデックスのセット
セットが列挙可能な場合、たとえば $\Gamma = \mathbb{N}$ の場合、次のようにする必要があります。
- 集合の和集合: $$\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcup^\infty_{i=1} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \dots$$
- 集合の交差: $$\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \bigcap^\infty_{i=1} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \dots $$
空のサブセット ファミリの結果
定理: $\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ を集合 $U,$ の部分集合の空の族とする、つまり $\Gamma = \emptyset.$
- (a) $\displaystyle\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = \emptyset.$
- (b) $\displaystyle\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} = U.$
デモ:
(a) $\displaystyle\bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} = \emptyset$ を示すことは、すべての場合にそれを示すことと同じであることに注意してください。 $x \in U,$ 私たちは $x \notin \displaystyle\bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma}.$ を持っています
$x ∈ U,$ の表記は次のとおりです。
$$x \notin \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \Longleftrightarrow \sim \left(x \in \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \right) $$Union の定義により、次のようになります。
$$\sim\left(x \in \bigcup_{\gamma \in \emptyset} A_{\gamma} \right) \Longleftrightarrow \sim\left(x \in A_{\gamma}, \text{ para algum } \gamma \in \emptyset \right)$$次に、否定を適用しましょう。
$$\sim\left(x \in A_{\gamma}, \text{ para algum } \gamma \in \emptyset \right) \Longleftrightarrow x \notin A_{\gamma}, \text{ para todo } \gamma \in \emptyset $$したがって、$\gamma \in \emptyset$ が次のことを意味していることがわかります。
$$ x \notin A_{\gamma}$$そして、$γ \in \emptyset$ は矛盾しているため、この最後の命題はすべての $x \in U,$ に当てはまります。 これで (a) 部分の証明は完了です。
(b) この項目では、すべての $x \in U,$ について、
$$x \in \bigcap_{γ\in \emptyset} A_\gamma.$$定義上、
$$x \in \bigcap_{\gamma\in \emptyset} A_{\gamma} \Longleftrightarrow \\{x \in A_{\gamma}, \text{ para todo } \gamma \in \emptyset\\} $$これは命題 $γ \in \emptyset$ と同等です。これは、項目 (a) の実証で見られるように、次の場合に当てはまる $x \in A_{\gamma},$ を意味します。 すべて $x \in U.$
$\square$
一般化されたモルガンの法則
定理 (一般化されたモルガンの法則) $\\{A_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ を集合 $U.$ の部分集合の任意の族とする
- (a) $\displaystyle\left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} A_\gamma\right)^c = \bigcap_{γ\in \Gamma} A^c_\gamma$
- (b) $\displaystyle\left(\bigcap_{\gamma\in \Gamma} A_\gamma\right)^c = \bigcup_{γ\in \Gamma} A^c_\gamma$
デモ:
a) すべての $x \in U,$ について、補完の定義により、それが得られます。
$$x \in \left(\bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right)^c \Longleftrightarrow \sim \left(x \in \bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right)$$Union の定義により、次のようになります。
$$\sim \left(x \in \bigcup_{γ\in \Gamma} A_\gamma\right) \Longleftrightarrow \sim (\text{existe } \gamma \in \Gamma \text{ tal que } x \in A_{\gamma})$$最後の文を否定すると、すべての $\gamma \in \Gamma$ に対して $x \notin A_{\gamma}$ が得られることがわかります。
次のステップでは、相補の定義を適用し、$x \in A^c_{\gamma}$ に対して $\gamma \in \Gamma$ を取得します。
交差点の定義によると
$$x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A^c_{\gamma}$$したがって、集合の等価性の定義により、項目 (a) の等価性が得られます。
項目 (b) の平等性の実証は演習として残されています。 :ジョイ::ジョイ::ジョイ:
$\square$
一般化された分配法則
定理 (一般化された分配法則) $A$ を集合、$\mathcal{C} = \\{B_{\gamma}; \gamma \in \Gamma\\}$ を部分集合の族とする。それから
- (a) $\displaystyle A \cap \left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right) = \bigcup_{\gamma\in \Gamma} A \cap B_\gamma$
- (b) $\displaystyle A \cup \left(\bigcap_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right) = \bigcap_{\gamma\in \Gamma} A \cup B_\gamma$
デモ:
(a) 要素 $x$ は、交差の定義により $x \in A$ と $x \in \bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma$ である場合に限り、集合 $\displaystyle A \cap \left(\bigcup_{\gamma\in \Gamma} B_\gamma\right)$ に含まれます。
さて、任意の集合族の和集合の定義から、この命題は、ある $γ \in \Gamma,$ については $x \in A$ および $x \in B_\gamma,$ と等価であり、ある $γ \in \Gamma.$ については $x \in A \cap B_\gamma,$ として表現できることがわかります。
結合の定義によると
$$x \in \bigcup_{\gamma\in \Gamma} A \cap B_\gamma,$$これは (a) を集合の等価性の定義によって示しています。
項目 (b) の平等性の実証は演習として残されています。 :ジョイ::ジョイ::ジョイ:
$\square$
セットファミリーの概要です。次の投稿をお待ちください。