Euler's Eyes
2026-10-14
ラグランジュの未定乗数：制約つきの最適化
現実の決定のほとんどは、制約つきの最大・最小問題です。工場は最大の利益をあげたいが、原料の量にはかぎりがある。缶は 350 ml を入れながら、アルミニウムをできるだけ使いたくない。振り子は、おもりが糸につながっているかぎり、好きなように動く。ラグランジュは、こうした問題すべてに通用する一つの方法を見つけました。それは 1788 年の『解析力学』に、力学系の束縛をあつかうために登場し、1797 年の『解析関数論』に、計算の一般的な規則として登場します。
囲い
ギリシア人もすでに解けた問題から始めましょう。20 メートルの柵で、いちばん面積の大きい長方形はどれでしょうか。辺を $x$、$y$ とすると、
$$f(x,y)=xy\qquad\text{を制約}\qquad g(x,y)=x+y=10$$のもとで最大にしたいのです。ここでは $y=10-x$ と解いて $x(10-x)$ を最大にするのはかんたんです。けれども多くの問題では、制約は複雑な方程式で、何も解き出せません。ラグランジュは、そうする必要がまったくない方法をほしがっていました。
新しい文字
ラグランジュのレシピは、今日 $\lambda$ と呼ばれる新しい未知数、乗数を加え、$f$ の導関数が $g$ の導関数に比例することを要求するものです。
$$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial y},\\ g(x,y)&=10.\end{aligned}$$囲いの場合、$\frac{\partial f}{\partial x}=y$、$\frac{\partial f}{\partial y}=x$ で、$g$ の導関数はどちらも $1$ です。方程式は
$$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=10$$となり、$x=y=5$。最良の長方形は 5 × 5 の正方形で、面積は 25 m² です。何も解き出す必要はありませんでした。制約は方程式が一つ増える形で、$\lambda$ は未知数が一つ増える形で入ってきたのです。
なぜうまくいくのか
下の図は、面積 $xy$ が一定の値 9、16、25、36 になる曲線と、制約の直線 $x+y=10$ を示しています。直線にそって進むと、面積がだんだん大きい曲線を通り、面積 25 の曲線までいきます。そこを過ぎると、面積はまた小さくなります。面積 36 の曲線は直線にふれることさえありません。
最適な点では、直線と最大面積の曲線は接しています。もし交わっていたら、直線にそってもう少し進み、もっと面積の大きい曲線に入れるはずです。接している曲線は同じ向きをもつので、そこでは $f$ と $g$ の導関数が比例します。乗数 $\lambda$ はその比例の係数なのです。
λ が語ること
ラグランジュは $\lambda$ を計算の工夫として導入しましたが、それには意味があります。囲いでは $\lambda=5$ です。辺の和が $s=10$ から任意の値 $s$ に変わると、最大面積は一辺 $\frac s2$ の正方形の面積、つまり $\frac{s^2}{4}$ になります。この面積の変化率は
$$\frac{d}{ds}\left(\frac{s^2}{4}\right)=\frac s2=5=\lambda.$$乗数は制約をゆるめるとどれだけ得をするかを教えてくれます。辺の和が 1 メートル増えるごとに、面積はおよそ 5 m² 増えるのです。経済学者は $\lambda$ をシャドウ・プライス（潜在価格）と呼びます。足りない資源があと一単位あったらどれだけの価値があるか、という意味です。
ラグランジュがこの方法を発明した力学でも、乗数には物理的な意味があります。それは束縛の力です。振り子で、角度を座標にするかわりに $x$ と $y$ を使い、制約 $x^2+y^2=\ell^2$ をつけると、現れる乗数は糸の張力に比例します。ラグランジュの方法が消してしまった力は、必要なときには文字 $\lambda$ として戻ってくるのです。
練習問題：直線 x + 2y = 5 上で原点にいちばん近い点は？
距離の 2 乗 $f=x^2+y^2$ を、$g=x+2y=5$ のもとで最小にします。方程式は $2x=\lambda$、$2y=2\lambda$、$x+2y=5$。はじめの二つから $y=2x$、制約から $5x=5$。点は $(1,2)$、距離は $\sqrt5\approx2.24$、$\lambda=2$ です。
練習問題：材料をいちばん少なくするには、円筒形の缶をどんな形にすればよいか？
半径を $r$、高さを $h$ とし、体積 $V=\pi r^2h$ を一定にして表面積 $S=2\pi r^2+2\pi rh$ を最小にします。ラグランジュの方程式は
$$\begin{aligned}4\pi r+2\pi h&=\lambda\cdot2\pi rh,\\ 2\pi r&=\lambda\cdot\pi r^2.\end{aligned}$$二つめから $\lambda=\frac2r$。一つめに代入すると $4\pi r+2\pi h=4\pi h$ となり、$h=2r$。高さは直径に等しくするべきです。缶詰の缶はこれに近いことが多いのですが、飲料の缶はもっと背が高くなっています。ふたが側面より厚くて高価なので、計算が変わるのです。
出典： Joseph-Louis Lagrange, Méchanique analitique（1788）および Théorie des fonctions analytiques（1797）· ラグランジュの伝記、MacTutor · Harold W. Kuhn and Albert W. Tucker, “Nonlinear Programming”（1951）。