Euler's Eyes
2024-07-10
自然数の足し算の練習問題
フィギュアを使ったウォーミングアップ
自然数の足し算の演習問題を解く - 小学校
例 1: 単純合計
ステートメント: マリアは 3 個のキャンディーを持っており、ジョンは 4 個のキャンディーを持っています。彼らは合わせて何発の弾丸を持っていますか？
解決策:
マリアは 3 個のキャンディーを持っており、ジョンは 4 個のキャンディーを持っています。それらが一緒に持つ弾丸の数を調べるには、次を追加します。
$$ 3 + 4 = 7 $$したがって、メアリーとジョンは一緒に 7 個のキャンディーを持っています。
例 2: 複数の数値の合計
ステートメント: ペドロは 2 個のリンゴ、3 個のバナナ、5 個のオレンジを購入しました。彼は合計で何個の果物を買いましたか?
解決策:
ペドロはリンゴを 2 個、バナナを 3 個、オレンジを 5 個購入しました。果物の合計数を調べるには、次を追加します。
$$ 2 + 3 + 5 = 10 $$したがって、ピーターは合計 10 個の果物を購入しました。
例 3: ゼロを含む合計
ステートメント: マリアが 7 個のボールを持っていて、その後 0 個のボールをギフトとして受け取った場合、マリアは何個のボールを持っていますか?
解決策:
マリアは 7 個の玉を持っていますが、余分な玉は得られません。したがって、合計は次のようになります。
$$ 7 + 0 = 7 $$マリアは 7 個のボールを続けます。
例 4: より大きな数値の合計
ステートメント: ルーカスは 12 個のステッカーを持っており、友人から 8 個のステッカーをもらいました。ルーカスは今ステッカーを何枚持っていますか?
解決策:
ルーカスは 12 ステッカーを持っていましたが、さらに 8 ステッカーを獲得しました。合計は次のとおりです。
$$ 12 + 8 = 20 $$今、ルーカスは 20 ステッカーを持っています。
例 5: 2 つの大きな数値の合計
ステートメント: 25 と 17 の合計はいくらですか?
解決策:
25 と 17 の合計を求めるには、次のようにします。
$$ 25 + 17 = 42 $$したがって、25と17の合計は42となります。
例 6: タイムライン上の合計
ステートメント: ジョンは 10 個のおもちゃから始めます。彼は両親からより多くの 5 を受け取り、友人からより多くの 3 を受け取ります。ジョアンは今何個のおもちゃを持っていますか?
解決策:
ジョアンは 10 個のおもちゃから始めて、両親からさらに 5 を受け取り、次に友達から 3 を受け取ります。合計は次のとおりです。
$$ 10 + 5 + 3 = 18 $$したがって、ジョンは現在 18 個のおもちゃを持っています。
例 7: 加算チャレンジ
ステートメント: 15、20、10 の合計はいくらですか?
解決策:
3 つの数値を加算します。
$$ 15 + 20 + 10 = 45 $$したがって、15、20、10の合計は45となります。
自然数の足し算の練習問題を解く - 初級Ⅱ
例 1: より大きな数値の合計
ステートメント: $56$ と $79$ の合計を計算します。
解決策:
$56$ と $79$ を追加するには、数字を並べて追加します。
$$ 56 + 79 = 135 $$したがって、$56$と$79$の合計は$135$となります。
例 2: 複数の自然数の和
ステートメント: $25, 48$ と $37$ の合計を計算します。
解決策:
次のように $25 + 48 + 37$ を追加します。
$$ 25 + 48 = 73 $$$$ 73 + 37 = 110 $$
したがって、$25, 48$と$37$の合計は$110$となります。
例 3: 連続する自然数列の和
ステートメント: $1$ から $10$ までの連続する自然数の合計はいくらですか?
解決策:
$1$ から $10$ までの自然数の合計は、次のように直接加算することで計算できます。
$$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 $$したがって、$1$から$10$までの数値の合計は$55$となります。
例 4: 大きな数値の合計
ステートメント: $245$ と $678$ の合計を計算します。
解決策:
$245$ と $678$ の数字を加算すると、次のようになります。
$$ 245 + 678 = 923 $$したがって、$245$と$678$の合計は$923$となります。
例 5: 規則的な数列を使用して合計します。
ステートメント: $2$ から $20$ までの偶数の合計を計算します。
解決策:
$2$から$20$までの偶数は$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$となります。
次に、すべての数値を合計します。
$$ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110 $$したがって、$2$から$20$までの偶数の和は$110$となります。
例 6: コンテキスト内の合計の問題
ステートメント: アナはお金を節約しています。最初の 1 か月で、彼女は $50$ レアルを節約しました。 2 か月目で、$65$ レアルを節約しました。 3 か月目で、$85$ レアルを節約しました。アナは合計でいくら貯めましたか?
解決策:
3 か月間に節約された金額を合計します。
$$ 50 + 65 + 85 = 200 $$したがって、アナは合計 $200$ レアルを節約しました。
例 7: 等差数列の和
ステートメント: 数値 $5, 10, 15, 20, 25$ の合計はいくらですか?
解決策:
指定された数値は、比率 $5$ の等差数列を形成します。以下を追加します。
$$ 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75 $$したがって、$5, 10, 15, 20, 25$ の数値の合計は $75$ になります。
例 8: 性質を持つ自然数の和
ステートメント: $1$ と $30$ の間の 5 の倍数の合計を計算します。
解決策:
$1$と$30$の間の5の倍数は$5, 10, 15, 20, 25, 30$です。これらの数字を合計します。
$$ 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 105 $$したがって、$1$と$30$の間の$5$の倍数の和は$105$となります。
自然数の足し算に関する解答済み演習 - 高等学校
例 1: 大きな数値の合計
ステートメント: $3789$ と $6453$ の合計を計算します。
解決策:
数値を直接加算します。
$$ 3789 + 6453 = 10242 $$したがって、$3789$と$6453$の合計は$10242$となります。
例 2: 連続する自然数列の和
ステートメント: $1$ から $100$ までの自然数の和は何ですか?
解決策:
最初の $n$ 個の自然数の合計には次の式を使用できます。
$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$$n = 100$ を置き換えます。
$$ S = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050 $$したがって、$1$から$100$までの自然数の和は$5050$となります。
例 3: 等差数列の和 (PA)
ステートメント: 等差数列 $3, 7, 11, 15, \dots, 55$ の合計を求めます。
解決策:
まず、血圧パラメータを特定します。最初の項は$a_1 = 3$、比率は$r = 4$、最後の項は$a_n = 55$です。
項の数 $n$ は次の式で求められます。
$$ a_n = a_1 + (n - 1)r $$$$ 55 = 3 + (n - 1) \times 4 $$
$$ 55 - 3 = (n - 1) \times 4 $$
$$ 52 = (n - 1) \times 4 \implies n - 1 = \frac{52}{4} = 13 $$
$$ n = 14 $$
ここで、PA の合計の公式を使用します。
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$$$ S_{14} = \frac{14(3 + 55)}{2} = \frac{14 \times 58}{2} = 406 $$
したがって、PA$3, 7, 11, 15, \dots, 55$の合計は$406$となります。
例 4: 数値の倍数の合計
ステートメント: $1$ と $70$ の間の $7$ の倍数の合計を計算します。
解決策:
$1$と$70$の間の$7$の倍数は$7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$です。
PA の合計の公式を使用します。最初の項 $a_1 = 7$、最後の項 $a_n = 70$、および比率 $r = 7$。
項の数 $n$ は次の式で求められます。
$$ a_n = a_1 + (n - 1)r $$$$ 70 = 7 + (n - 1) \times 7 $$
$$ 70 - 7 = (n - 1) \times 7 $$
$$ 63 = (n - 1) \times 7 \implies n - 1 = \frac{63}{7} = 9 $$
$$ n = 10 $$
次に、合計を計算します。
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$$$ S_{10} = \frac{10(7 + 70)}{2} = \frac{10 \times 77}{2} = 385 $$
したがって、$1$と$70$の間の$7$の倍数の和は$385$となります。
例 5: べき級数の和
ステートメント: $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2$ の合計を計算します。
解決策:
最初の $n$ 自然数の二乗和は、次の式で計算できます。
$$ S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$$n = 10$ を置き換えます:
$$ S = \frac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385 $$したがって、合計$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2$は$385$となります。
例 6: 金融における自然数の和
声明: ジョアンは、徐々にお金を節約することにしました。最初の 1 か月目に $50$ レアル、2 か月目に $60$ レアルというように 6 か月目まで貯蓄します。半年後に彼はいくら貯まるでしょうか?
解決策:
保存された値が $a_1 = 50$、$r = 10$、および $n = 6$ の等差数列を形成していることがわかります。
最後の項 $a_n$ は次のとおりです。
$$ a_n = a_1 + (n - 1)r = 50 + (6 - 1) \times 10 = 50 + 50 = 100 $$ここで、PA の合計の公式を使用します。
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$$$ S_6 = \frac{6(50 + 100)}{2} = \frac{6 \times 150}{2} = 450 $$
したがって、6 か月の終わりには、ジョアンは $450$ レアルを節約することになります。
例 7: 数値の各桁の合計
ステートメント: 数値 $9352$ の桁の合計を計算します。
解決策:
数字 $9352$ には次の数字が含まれます: $9, 3, 5, 2$。
数字を追加します。
$$ 9 + 3 + 5 + 2 = 19 $$したがって、$9352$ の桁の合計は $19$ になります。
自然数の足し算の演習問題を解く - 入学試験
例 1: 大きな連続数値の合計
ステートメント: $1$ から $200$ までの自然数の和を計算します。
解決策:
最初の $n$ 個の自然数の合計は、次の式で求められます。
$$ S = \frac{n(n+1)}{2} $$$n = 200$ を置き換えます。
$$ S = \frac{200(200+1)}{2} = \frac{200 \times 201}{2} = 20100 $$したがって、$1$から$200$までの自然数の和は$20100$となります。
例 2: 数値の倍数の合計
ステートメント: $1$ と $1000$ の間の $5$ の倍数の合計を計算します。
解決策:
$1$と$1000$の間の$5$の倍数は$5, 10, 15, 20, \dots, 1000$であり、$a_1 = 5$、$r = 5$、$a_n = 1000$と等差数列(AP)を形成します。
項の数 $n$ を見つけるには、PA の $n$ 番目の位置の式を使用します。
$$ a_n = a_1 + (n - 1)r $$$$ 1000 = 5 + (n - 1) \times 5 $$
$$ 1000 - 5 = (n - 1) \times 5 \implies 995 = (n - 1) \times 5 $$
$$ n - 1 = \frac{995}{5} = 199 \implies n = 200 $$
ここで、PA の合計を計算します。
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$$$ S_{200} = \frac{200(5 + 1000)}{2} = \frac{200 \times 1005}{2} = 100500 $$
したがって、$1$と$1000$の間の$5$の倍数の和は$100500$となります。
例 3: 等差数列の和
ステートメント: 等差数列 $12, 15, 18, 21, \dots, 60$ の項の和を求めます。
解決策:
初項$a_1 = 12$、比$r = 3$、終項$a_n = 60$の等差数列です。
項の数 $n$ を見つけるには、次の式を使用します。
$$ a_n = a_1 + (n - 1)r $$$$ 60 = 12 + (n - 1) \times 3 $$
$$ 60 - 12 = (n - 1) \times 3 \implies 48 = (n - 1) \times 3 $$
$$ n - 1 = \frac{48}{3} = 16 \implies n = 17 $$
ここで、PA の合計の公式を使用します。
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$$$ S_{17} = \frac{17(12 + 60)}{2} = \frac{17 \times 72}{2} = 612 $$
したがって、PA項の合計$12, 15, 18, 21, \dots, 60$は$612$となります。
例 4: 最初の $n$ 個の自然数の二乗和
ステートメント: $1$ から $20$ までの自然数の二乗和を計算します。
解決策:
最初の $n$ 自然数の二乗和は、次の式で求められます。
$$ S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$$n = 20$ を置き換えます:
$$ S = \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870 $$したがって、$1$～$20$の数値の二乗和は$2870$となります。
例 5: 大きな数値の桁の合計
ステートメント: 数値 $123456789$ の桁の合計を計算します。
解決策:
$123456789$ の桁は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ です。
数字を追加します。
$$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 $$したがって、$123456789$ の桁の合計は $45$ になります。
例 6: 経済的問題の合計
声明: カルロスは最初の月に $200$ レアル、2 か月目に $250$ レアル、3 か月目に $300$ レアルというように 6 か月目まで貯蓄しました。半年の終わりに彼はいくら貯めましたか?
解決策:
保存された値が $a_1 = 200$、比率 $r = 50$、$n = 6$ の PA を形成していることがわかります。
最後の項 $a_n$ は次のとおりです。
$$ a_n = a_1 + (n - 1)r = 200 + (6 - 1) \times 50 = 200 + 250 = 450 $$次に、合計を計算します。
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$$$ S_6 = \frac{6(200 + 450)}{2} = \frac{6 \times 650}{2} = 1950 $$
したがって、6 か月の終わりには、カルロスは $1950$ レアルを貯めることになります。
例 7: 等比級数の和
ステートメント: 系列 $1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 512$ の合計を計算します。
解決策:
$a_1 = 1$、比$r = 2$、最後の項$a_n = 512$の等比数列です。
項の数 $n$ を見つけるには、GP の $n$ 番目の位置の式を使用します。
$$ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} $$$$ 512 = 1 \cdot 2^{(n-1)} \implies 512 = 2^{(n-1)} $$
$2^9 = 512$、次に $n - 1 = 9 \implies n = 10$ であることがわかります。
PG の合計は次の式で求められます。
$$ S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} $$$$ S_{10} = \frac{1(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023 $$
したがって、$1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 512$ 系列の合計は $1023$ となります。
例 8: 2 つの素数の合計
ステートメント: 合計が $52$ となる 2 つの素数を求めます。
解決策:
$52 = 29 + 23$ はわかっており、どちらも素数です。
したがって、和が$52$となる素数は$29$と$23$となります。
トレーニング
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