均衡点とは、ほかのプレイヤーの戦略を固定したとき、各プレイヤーの混合戦略が自分の利得を最大にするような n 組である。

— ジョン・ナッシュ、米国科学アカデミー紀要（1950）

1944 年、ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンは『ゲームの理論と経済行動』を出版しました。トランプ遊び、戦争、市場といった戦略的な決定を数学に変える大著です。フォン・ノイマンの大きな結果は、二人のゼロサム・ゲーム、つまり一方の得が他方の損になるゲーム、たとえばチェスやポーカーに当てはまるものでした。しかし人生の大部分はそうではありません。貿易協定でも、交渉でも、交通でも、両者がいっしょに得をすることも、いっしょに損をすることもあります。

1949 年、21 歳の学生が、どんなゲームにも、何人のプレイヤーにも使えるアイデアを見つけました。

アイデア

ゲームでは、各プレイヤーが戦略を選び、各自の結果は全員の選択によって決まります。ナッシュ均衡とは、ほかの人が戦略を変えないとき、どのプレイヤーも一人で戦略を変えて得をすることができないような戦略の組み合わせです。

記号で書きましょう。$s_i^*$ をプレイヤー $i$ の戦略、$s_{-i}^*$ をほかの人の戦略、$u_i$ をプレイヤー $i$ の利得とすると、

$$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{すべてのプレイヤー }i\text{ とすべての戦略 }s_i\text{ について}.}$$

均衡では、各自がほかの人のしていることを前提にして、できる最善のことをしています。だれも自分の選択を後悔しません。

広場かカフェか

アナとブルーノは午後に会う約束をしましたが、場所を決め忘れ、二人とも携帯電話を持っていません。それぞれ広場かカフェに行けます。二人ともカフェのほうが好きですが、いちばん大事なのは会えることです。利得（先がアナ、後がブルーノ）は次のとおりです。

アナ / ブルーノ 広場 カフェ
広場 (2, 2) (0, 0)
カフェ (0, 0) (3, 3)

それぞれの組み合わせを調べましょう。（カフェ、カフェ）で、アナが一人で広場に変えると 3 から 0 になります。ブルーノも同じです。だれも変えたくない：均衡です。（広場、広場）でも、一人で変えるとそれぞれ 2 から 0 になります。これも均衡です！ 一方（広場、カフェ）では、アナはカフェに行けば得をするので、均衡ではありません。

このゲームには均衡が二つあり、一方は両者にとってもう一方よりよいものです。ナッシュの概念はどの組み合わせが安定かを教えてくれますが、そのどれが起こるかは教えてくれません。実際には、慣習や習慣、二人がいつも行く場所が決めます。

囚人のジレンマ

ナッシュの論文と同じ 1950 年、ランド研究所の二人の研究者メリル・フラッドとメルヴィン・ドレシャーが、このアイデアを試すためのゲームを考え、数学者アルバート・タッカーがそれを二人の囚人の物語として語りました。警察が二人の共犯者を逮捕し、別々の部屋で取り調べます。それぞれ黙秘するか、相手を自白で売るかを選べます。刑期（年）は次のとおりです。

A / B 黙秘 自白
黙秘 (1, 1) (10, 0)
自白 (0, 10) (5, 5)

囚人 A の立場で考えましょう。B が黙秘するなら、A は黙秘で 1 年、自白で 0 年：自白のほうがよい。B が自白するなら、A は黙秘で 10 年、自白で 5 年：やはり自白のほうがよい。B が何を選んでも、A にとっては自白のほうがよいのです。 同じ推論が B にも当てはまります。ナッシュ均衡は（自白、自白）ただ一つで、それぞれ 5 年です。

しかし二人とも黙秘すれば、それぞれ 1 年ですんだのです！ 均衡は二人にとって悪いものであり、しかもどちらも一人ではそこから抜け出せません。これは多くの現実の状況のジレンマです。軍拡競争、乱獲、森林破壊、汚染。各自が自分の利益に従って行動し、だれも望まない結果を生むのです。

練習問題：待ち合わせの表で、アナが広場、ブルーノがカフェにいるとき、変える動機があるのはだれか。

二人ともです。アナは一人でカフェに変えると 0 から 3 に、ブルーノは一人で広場に変えると 0 から 2 になります。しかし二人が同時に変えると、やはり会えません。均衡の判定では、いつも一人ずつ変えることを考えます。

練習問題：囚人のジレンマで、一人だけ黙秘した者の刑期を 10 年から 3 年に変える。均衡は変わるか。

今度は、B が自白するなら、A は黙秘で 3 年、自白で 5 年：黙秘のほうがよい。B が黙秘するなら、A は黙秘で 1 年、自白で 0 年：自白のほうがよい。自白がいつでもよいわけではなくなりました。純粋戦略の均衡は（黙秘、自白）と（自白、黙秘）になります。どちらも相手と反対のことをしたいのです。ゲームの結果は、表の数字に大きく左右されます。

出典： John F. Nash、“Equilibrium points in n-person games”、Proceedings of the National Academy of Sciences 36（1950）、doi:10.1073/pnas.36.1.48 · William Poundstone、Prisoner’s Dilemma（Doubleday、1992）· 1994 年ノーベル経済学賞、ノーベル財団。

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