Euler's Eyes
2026-09-26
FUVEST 2022 – 第 1 フェーズ: 数学の解決
出典: FUVEST – 一般知識テスト、バージョン V および修正された公式テンプレート 第1フェーズの(12/12/2021で適用)。
FUVEST の第 1 フェーズ 2022 には、すべての被験者から 90 件の質問がありました。この投稿により、 12 数学の問題。テスト V では 30 ～ 41 の問題です。その他では バージョン (K、Q、X、Z) では、同じ問題が異なる番号と異なる順序で表示されます。 代替手段があるため、常にテストのバージョンを確認してください。
テンプレート
| 質問 | 主題 | テンプレート |
|---|---|---|
| 30 | 乗法原理: ナンバー プレート | C |
| 31 | 位置番号体系 | A |
| 32 | 比率: 速度と時間 | C |
| 33 | 割合と表 | C |
| 34 | 2次方程式: 贈り物の割り算 | D |
| 35 | 等差数列: 井戸のコスト | B |
| 36 | 多面体: オイラー関係式 | E |
| 37 | 三角法: 余弦の法則 | A |
| 38 | 多項式: ジラール関係式 | E |
| 39 | フラットな形状: タンクの周囲にテープを貼り付ける | B |
| 40 | 大きさと単位 | D |
| 41 | 対数: グラフの読み取り | D |
問題 30: メルコスール プレート × 以前のシステム (乗法原理)
声明
現在、ブラジルでは 2 つの識別プレート システムが共存しています。 自動車: メルコスール規格 (最新) と 1990 で始まった規格 (以前のシステム。現在も流通しているほとんどの自動車で使用されています)。いいえ 以前のシステムでは、3 文字 (26 文字のアルファベット) が使用されていました。 4 桁 (0 ～ 9)。ブラジルで自動車に採用されているメルコスール規格には、 4 文字と 3 数字が使用され、3 文字が最初の 3 位置と 4 番目に使用されます。 文字は 5 番目にあり、文字または数字が繰り返される場合があります。フィギュア に 2 種類のプレートを示します。
このようにして、ブラジルのメルコスール規格の可能なプレートの数は、 自動車は以前のシステムよりも優れています。
- A) 1,5 回。
- B) 2 回。
- C) 2,6 回。
- D) 2,8 回。
- E) 3 回。
解決
1。以前のシステム ボード。 これらは 7 の位置です: 3 文字 (それぞれ 26 オプション) および 4 桁数 (10 オプションがそれぞれ)。原理的にどうして繰り返しがあり得るのか 乗算:
$$N_{\text{ant}} = 26^3 \cdot 10^4$$2。メルコスール標準プレート。 これらも 7 位置ですが、現在は 4 文字と 3 桁 (4 番目の文字の位置によってカウントは変わりません):
$$N_{\text{Merc}} = 26^4 \cdot 10^3$$3。 2 つの比率 大きな計算をする必要はありません。ただ割るだけです。
$$\frac{N_{\text{Merc}}}{N_{\text{ant}}} = \frac{26^4 \cdot 10^3}{26^3 \cdot 10^4} = \frac{26}{10} = 2{,}6$$これは理にかなっています。10 オプション (数字) の位置を 26 オプションの位置と交換します。 （文字）を入力し、その合計に$\frac{26}{10}$を掛けます。
答え: 代替 C (2,6 回)。
質問 31: バー単位の中国語システムの数字 91625
声明
科学中国語（またはバー）として知られる番号付けシステムが登場しました おそらく二千年以上前。システムは基本的に位置的なものであり、 基数は 10、右側の最初の桁は単位を表します。最初の 図中の記号の横線は、数値1がどのように表されるかを示しています。 2、3、4、5、6、7、8、および 9 が奇数の位置に表示される場合 (単位、百の位) など)、およびそのような数字が偶数の位置にある場合の 2 行目 (数十、数千など)。このシステムでは、サークルが使用され始めました。 宋の時代の数字のゼロを表します (960-1126)。
ハワード・イヴス、数学史入門。翻訳: ハイジーノ・H・ドミンゲス. Editora Unicamp、2011 (第 5 版)
この番号付けシステムで番号 91625 を表す選択肢を選択してください。
解決
1。各桁の位置 から始めて右から左に数えます。 単位:
| 数字 | 9 | 1 | 6 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| ポジション | 5位（数万） | 4位（千） | 3位（百） | 2番目（10年） | 1位（ユニット） |
| パリティ | 奇数 | ペア | 奇数 | ペア | 奇数 |
2. シンボルの選択。 奇数の位置では、 最初の行 図の(バー) 垂直; 6 から 9 まで、上部に水平線）。偶数の位置では、 2番目 ライン (水平バー、6 から 9 まで、上部に垂直線)。
- 9 が奇数の位置にあります。4 本 の垂直バーの上に水平線が表示されます。
- 1 偶数位置: 横棒;
- 6 が奇数の位置にあります: 1 垂直バー (「T」字型) の上に水平線。
- 2 偶数位置: 横棒 2 本;
- 5 が奇数の位置にあります:縦バーが 5 本です。
3。代替案との比較 まさにこれを備えているのは代替案 A だけです。 シーケンス。他の人は数字の形式を間違えています: B と C は 1 を次のように書きます。 垂直バー (奇数位置形状); B は 6 を偶数形式で書き込みます。 C 2 を縦棒で書きます。 DとEは9を偶数形式で書き込み、Eは 5 を横棒で書きます。
答え: 代替案A。
質問 32: 速度 1,5 × {#question-32} のビデオ
声明
ビデオの長さは 3 分です。ビデオが再生される場合は、 元の速度の1,5倍の速度で開始し、その再生時間を ビデオ全体が
- A) 1 分 30 秒。
- B) 1分50秒。
- C) 2分00秒。
- D) 2 分 30 秒。
- E) 2分50秒。
解決
1。速度と時間は反比例する 動画の「内容」は、 いつも同じです。 1,5を速く通過すると、時間を1,5で割ります。
2。秒単位でカウントします。 3 分は 180 秒です。
$$t = \frac{180}{1{,}5} = 120 \text{ s} = 2 \text{ min}$$答え: 代替 C (2 分 00 秒)。
落とし穴に注意してください: 代替案 A (1 分 30 秒) が得られます 速度が 2 倍になったかのように 2 で除算するか、3 から 1,5 を減算します。 1,5×の速度では、時間は半分ではなく1,5で割られます。
質問 33: 色別の欠陥のある椅子 (割合)
声明
ある業界では 3 つのモデルの椅子 ($M_1$、$M_2$、および $M_3$ で示されます) を製造しています。 それぞれに 2 つのカラーオプションがあります: 黒と赤 (P と V で示されます) それぞれ）。表は毎週生産される椅子の数を示しています 色とモデルに応じて:
| P | V | |
|---|---|---|
| $M_1$ | 500 | 200 |
| $M_2$ | 400 | 220 |
| $M_3$ | 250 | 300 |
欠陥のある椅子の割合は、モデル $M_1$ の 2%、モデルの 5% です モデル $M_3$ の $M_2$ および 8%。欠陥のない椅子をこう呼びます。 いいよ。
週ごとに生産される不良椅子の数を示す表 (D) と 色によると、良い (B) は次のとおりです。
A)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 55 | 39 |
| B | 1095 | 681 |
B)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 51 | 40 |
| B | 1099 | 680 |
C)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 50 | 39 |
| B | 1100 | 681 |
D)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 50 | 37 |
| B | 1100 | 683 |
E)
| P | V | |
|---|---|---|
| D | 51 | 39 |
| B | 1099 | 681 |
解決
**1。黒色の不良品。**各モデルの生産にその割合を適用します。 黒い椅子:
$$0{,}02 \cdot 500 + 0{,}05 \cdot 400 + 0{,}08 \cdot 250 = 10 + 20 + 20 = 50$$2。赤色欠陥です。
$$0{,}02 \cdot 200 + 0{,}05 \cdot 220 + 0{,}08 \cdot 300 = 4 + 11 + 24 = 39$$3。良好です。 トータルブラック: $500 + 400 + 250 = 1150$;良い黒のもの： $1150 - 50 = 1100$。合計赤: $200 + 220 + 300 = 720$;赤いボア: $720 - 39 = 681$。
テーブルは次のとおりです: D = 50 (P) および 39 (V)。 B = 1100 (P) および 681 (V)。
答え: 代替案C。
キャッチに注意してください: すべての選択肢で列が合計されることに注意してください。 1150 および 720;両者の違いは、不良品の数だけです。を計算します。 モデル間の割合。すべての「平均」パーセンテージを使用する 椅子は間違った値を与えます。
確認するには、パーセンテージの基本.
問題34: 美容室における現在の割り算(2次方程式)
声明
美容院の従業員が R$ 200,00 相当のギフトを購入しました 施設の受付係まで。値を等分したとき、 このうち2名が参加を辞退し、このため残った各名が参加を辞退した。 グループは当初の予定金額より多く R$ 5,00 を支払わなければなりませんでした。値 贈り物の費用の分割に残った人が支払った金額は次のとおりです。
- A) R$ 10,00
- B) R$ 15,00
- C) R$ 20,00
- D) R$ 25,00
- E) R$ 40,00
解決
1。方程式の設定 $n$ を従業員の初期数とします。割り当て 予測は $\frac{200}{n}$ でした。 $n - 2$ 人で、割り当ては次になりました $\frac{200}{n-2}$、これは 5 より多くのレアルです:
$$\frac{200}{n-2} - \frac{200}{n} = 5$$2。解決します。 すべてに $n(n-2)$ を掛けます。
$$200n - 200(n-2) = 5n(n-2) \quad\Rightarrow\quad 400 = 5n^2 - 10n$$$$n^2 - 2n - 80 = 0 \quad\Rightarrow\quad n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2}$$$n > 0$、$n = 10$など。
3。宿泊者が支払った金額 $10 - 2 = 8$ 人が宿泊しました:
$$\frac{200}{8} = 25$$確認: 予想される割り当ては $\frac{200}{10} = 20$ および $25 = 20 + 5$ でした。 ✓
答え: 代替 D (R$ 25,00)。
落とし穴に注意してください: 代替 C (R$ 20,00) は元の 割り当てです。 10人と一緒に。問題はその部門に残った人たちがいくら払ったかだ。
確認するには、2 次の方程式.
質問 35: 井戸の深さ (PA の合計)
声明
ある会社は再利用水を貯蔵するために井戸を建設しました。構築にかかる費用は、 最初のメーターは R$ 1.000,00 で、新しいメーターはそれぞれ R$ 200,00 高くなります 直前のものよりも。総建設コストが R$ 48.600,00 の場合、 井戸の深さは次のとおりです。
- A) 15 m
- B) 18 m
- C) 21 m
- D) 24 m
- E) 27 m
解決
**1。コストは PA を形成します。**各メーターのコストは次のとおりです。 $1000, 1200, 1400, \ldots$: $a_1 = 1000$と比率の等差数列 $r = 200$。 $n$番目のメーターの価格は
$$a_n = 1000 + 200(n-1) = 800 + 200n$$2。 $n$ の最初の項の合計。
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(1000 + 800 + 200n) \cdot n}{2} = (900 + 100n) \cdot n$$3。総コストに相当します。
$$100n^2 + 900n = 48\thinspace 600 \quad\Rightarrow\quad n^2 + 9n - 486 = 0$$$$n = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 1944}}{2} = \frac{-9 \pm 45}{2}$$正のルートは $n = 18$ です。
チェック：$a_{18} = 800 + 3600 = 4400$と$S_{18} = \frac{(1000 + 4400) \cdot 18}{2} = 5400 \cdot 9 = 48\thinspace 600$。 ✓
答え: 代替案 B (18 m)。
確認するには、等差数列.
質問 36: 8 個の頂点を持つ三角面体の面 (オイラー関係)
声明
デルタ面体は、すべての面が 正三角形 である多面体です。もし 凸デルタ面体には 8 個の頂点があるため、このデルタ面体の面の数は次のようになります。
- A) 4
- B) 6
- C) 8
- D) 10
- E) 12
次の点に注意して採用してください。 凸多面体では、オイラー関係 $F - A + V = 2$ が成り立ちます。ここで、$F$ は 面の数、$A$ はエッジの数、$V$ はエッジの頂点の数です。 多面体。
解決
1。面ごとにエッジを数える 各面は 3 個のエッジを持つ三角形です。セ $3F$ を追加すると、各エッジは2 回カウントされます（2 つのエッジで共有されます）。 顔）。ロゴ
$$3F = 2A \quad\Rightarrow\quad A = \frac{3F}{2}$$2。 $V = 8$ とのオイラー関係。
$$F - \frac{3F}{2} + 8 = 2 \quad\Rightarrow\quad -\frac{F}{2} = -6 \quad\Rightarrow\quad F = 12$$次に$A = 18$。 (そのような多面体は存在します。それはいわゆる扁平蝶形骨関節であり、12 三角形の顔。)
答え: 代替の E (12 面)。
キャッチに注意してください: 代替 C (8) は頂点の数を繰り返します。の 正八面体には8 個の面がありますが、頂点は6個しかありません。
質問 37: 正方形と円の間の最大角度 (余弦の法則)
声明
この図には、点 $O$ を中心とする正方形と円が示されています。広場 側面の測定単位は 1 μm、円の半径は 2 μm です。 ○ 点 $A$ は正方形の輪郭上にあり、点 $B$ は正方形の輪郭上にあります。 円、セグメント $AB$ のサイズは 2 μm です。
角度 $\theta = A\hat{O}B$ が最大の場合、その余弦は次のようになります。
- A) $\frac{1}{8}$
- B) $\frac{1}{4}$
- C) $\frac{1}{2}$
- D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- E) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
解決
1。どちらが変化するかは異なります。 三角形 $OAB$ には、$OB = 2$ (半径) と $AB = 2$ (データ) があります。 ○ $A$が正方形の周りを移動するにつれて変化するものが$r = OA$です。中心からの距離 辺の正方形 1 の輪郭は $\frac{1}{2}$ (1 つの辺の中点) から $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (頂点):
$$\frac{1}{2} \le r \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$2。三角形 $OAB$ の余弦の法則 ($O$ の角度 $\theta$、辺の反対側) $AB$):
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos\theta$$$$4 = r^2 + 4 - 4r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{r}{4}$$(別の見方: $OB = AB = 2$ のように、三角形は底辺が $OA$ の二等辺三角形です。 $B$ による高さは $OA$ の中点にあたり、次に $\cos\theta = \frac{r/2}{2} = \frac{r}{4}$ になります。)
3。角度を最大化します。$0 < \theta < 180°$ の場合、 角度が大きくなります。 コサインが小さくなります。したがって、$\cos\theta = \frac{r}{4}$ が次の場合に $\theta$ が最大になります。 最小値、つまり $r$ が最小値の場合: $r = \frac{1}{2}$。
$$\cos\theta_{\max} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$$答え: 代替 A ($\frac{1}{8}$)。
トリックに注意してください: の頂点にある点 $A$ を取る傾向があります。 正方形、「可能な限り」。これにより $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{8}$ が得られます。 が最小角度に相当します。最大角度は最小コサインです。
復習するには、任意の三角形の定理.
質問 38: 二重根の多項式 (ジラール関係式)
声明
多項式 $p(x) = x^3 + mx - 2$ ($m$ は実数) が次のようになっているとします。 二重実根 $a$ と単純実根 $b$。 $m$と$a$の合計値 は:
- A) 0
- B) $-1$
- C) $-2$
- D) $-3$
- E) $-4$
解決
$p$ のルートは $a$、$a$、$b$ です。ジラールとの関係によると、 $x^3 + 0x^2 + mx - 2$:
1。根の合計 ($x^2$ の係数はゼロです):
$$a + a + b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2a$$2。根の積:
$$a \cdot a \cdot b = -\frac{-2}{1} = 2 \quad\Rightarrow\quad a^2(-2a) = 2 \quad\Rightarrow\quad a^3 = -1 \quad\Rightarrow\quad a = -1$$ロゴ$b = 2$。
3。 2 × 2 の積の合計(係数 $m$ が与えられます):
$$m = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot b = a^2 + 2ab = 1 + 2(-1)(2) = -3$$確認中：$p(x) = x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$。 ✓
4。要求された合計: $m + a = -3 + (-1) = -4$。
答え: 代替 E ($-4$)。
キャッチに注意してください: 代替 D ($-3$) は単なる $m$ の値です。の 質問では $m + a$ が求められます。
質問 39: 4 つの円筒形タンクの周りをテープで囲みます
声明
図に示すように、4 つの円筒形タンクを上から見た図 (平面図)。 それらはすべて半径 10 m で、それらの中心は 2 つの正方形の頂点に位置します。 隣接する破線。どちらも一辺が 30 m です。絶縁テープを伸ばして、 地面と平行に4戦車を取り囲み一回転(オレンジ線) 図中）。
テープの長さはメートル単位で次のようになります。
- A) $20\pi + 30(3 + \sqrt{2})$
- B) $20\pi + 30(4 + \sqrt{2})$
- C) $25\pi + 15(4 + \sqrt{2})$
- D) $25\pi + 30(4 + \sqrt{2})$
- E) $25\pi + 30(4 + 2\sqrt{2})$
解決
リボンは直線部分（2つのタンクの接線） と円弧で形成されています。 周囲（タンクと接触する場所）。
1。直線セクション。 各直線セクションは中心を結ぶ線分と平行です。 接触する 2 つのタンクのうち、このセグメントと同じ長さを持ちます ( テープに垂直な 2 本の光線はテープと長方形を形成します)。図、テープから 4 中心の外側を通過します。上の 1 つは左側、下の 2 つは左側、中央の 1 つは左側です。 右。連続する中心間のセグメントは次のとおりです。
- 左側: 正方形の 2 辺、$30 + 30 = 60$。
- 下側: $30$;
- 右側 (下から中央): $30$;
- 上部の正方形の対角線: $30\sqrt{2}$。
ストレート合計: $60 + 30 + 30 + 30\sqrt{2} = 120 + 30\sqrt{2} = 30(4 + \sqrt{2})$。
2。円弧各タンク内で、円弧はある直線セクションから次の直線セクションに進み、その角度は次のとおりです。 中心は、その点でテープが「回転する」角度に等しい。散歩中 完了すると、テープはフル $360°$ になります。次に、4 つの円弧が一緒になってa を形成します。 半径の全周10:
$$2\pi \cdot 10 = 20\pi$$(確認: 回転角度は $90°$、$90°$、$135°$、$45°$ で、合計は $360°$ になります。)
3。テープの長さです。
$$L = 20\pi + 30(4 + \sqrt{2}) \text{ m}$$答え: 代替案 B。
注意点: 各円弧を個別に計算する必要はありません。 凸型の図形を囲むリボン。円弧は常に合計するとちょうど 1 回転になります。 完了。半径が 10 の場合、これは $20\pi$ になります。選択肢 C、D、E の $25\pi$ は、 これに相当します。
確認するには、円周.
質問 40: ナノスコープ – マイクロメートルとナノメートルの比
声明
2021 2 月、ミナスジェライス連邦大学の物理学者グループ (UFMG) は、重要な雑誌ネイチャーの表紙に掲載された記事を発表しました。へのテキスト 以下は、この記事に関する UFMGサイトのレポートから抜粋したものです。
Ado Jorio (UFMG 教授) は、ナノスコープはサンプルを照明すると続けます。 通常の光学顕微鏡。光の焦点は1円の大きさです 直径はマイクロメートル。 「ナノスコープが行うことは、ナノアンテナを挿入することです。 1 マイクロメートルの焦点内に、直径 10 ナノメートルの先端があり、 このヒントをスキャンしてください。これにより、ナノメートル解像度の画像が形成されます。 ナノアンテナ走査プロセス。電磁場の位置を特定します。 光はピークに達しています」と教授は言います。
イタマール・リゲイラ・ジュニア「UFMG のナノスコープを使用すると、その構造を理解することができます。 グラフェンを超電導にする」を採用。https://ufmg.br/comunicacao/noticias/. で入手可能 Gadelha A C 他 (2021)、自然、590、405-409、doi: 10.1038/s41586-021-03252-5。
本文中で言及されているデータに基づいて、光の焦点の直径間の比率 通常の光学顕微鏡と、それに使用されるナノアンテナの先端の直径 ナノスコープは次のようなものです。
- A) 0,0001
- B) 0,01
- C) 1
- D) 100
- E) 10000
解決
1。同じ単位です。 $1 \text{ micrômetro} = 10^{-6}$ m e $1 \text{ nanômetro} = 10^{-9}$m。ロゴ$1 \text{ µm} = 10^3 \text{ nm} = 1000 \text{ nm}$。
2。リクエストされた理由(焦点 ÷ ヒント、この順):
$$\frac{1000 \text{ nm}}{10 \text{ nm}} = 100$$答え: 代替 D (100)。
キャッチに注意してください: 選択肢 B (0,01) が反転 する理由です (ヒント) ÷ 集中力）。ステートメント内の単語の順序によって分子が定義されます。「単語間の比率」 焦点直径 […] と先端直径」。
質問 41: 対数スケールでの細菌の増殖
声明
液体中の細菌の量は、次の量に直接比例します。 この液体の濁度。グラフは、対数スケールで、 時間経過に伴う液体の濁度 $x$ $t$ (分単位で測定)、つまり $\log_{10} x$ を $t$ の関数として示します。データは 30 から 30 で収集されました 分、中間値を推測するために補間曲線が得られました。
グラフから、細菌数は瞬間から何倍に増加したか $t_0$ をインスタント $t_1$ にしますか?
- A) 2
- B) 4
- C) 5
- D) 10
- E) 100
解決
1。グラフの見方 細い横線は0,1から0,1までです。いいえ $t_0$ の瞬間、マークされた点は $\log_{10} x_0 = -1{,}3$ にあります。瞬間 $t_1$、 $\log_{10} x_1 = -0{,}3$にあります。
2。対数の差は比です。商の対数の性質により、次のようになります。
$$\log_{10} \frac{x_1}{x_0} = \log_{10} x_1 - \log_{10} x_0 = -0{,}3 - (-1{,}3) = 1$$$$\frac{x_1}{x_0} = 10^1 = 10$$3。濁りからバクテリアへ バクテリアの量がダイレクトにわかるので。 濁度に比例すると、個体群間の比率は同じになります。つまり、個体群は次のようになります。 10 倍です。
答え: 代替 D (10)。
キャッチに注意してください: 縦軸は $x$ ではなく $\log_{10} x$ です。登る この軸の 1 単位は、$x$ に 10 を乗算することを意味し、1 を加算することはありません。 「曲がる」。
確認するには、対数のプロパティ.